Decadimento radioattivo con dimezzamento

Testo

Una sostanza radioattiva ha massa iniziale $80$ g e si dimezza ogni $5$ anni.

• (a) scrivi la legge $y=b\cdot a^{x}$ della massa in funzione del tempo $x$ (anni);
• (b) calcola la massa dopo $12$ anni;
• (c) dopo quanti anni la massa si riduce a $5$ g? (usa $\log_{10}2\approx0{,}301$)

Soluzione

(a) $b=80$ e, dal dimezzamento in $5$ anni, $a=\left(\tfrac12\right)^{1/5}=2^{-1/5}\approx0{,}8706$: $\;y=80\cdot\left(\tfrac12\right)^{x/5}$.

(b) $y(12)=80\cdot\left(\tfrac12\right)^{12/5}=\dfrac{80}{2^{2,4}}\approx\dfrac{80}{5{,}28}\approx 15{,}15$ g.

(c) $5=80\cdot\left(\tfrac12\right)^{x/5}\Rightarrow \left(\tfrac12\right)^{x/5}=\tfrac{1}{16}=\left(\tfrac12\right)^4\Rightarrow \tfrac{x}{5}=4\Rightarrow x=20$ anni.

$\boxed{y=80\cdot\left(\tfrac12\right)^{x/5};\ \ y(12)\approx15{,}15\ \text{g};\ \ x=20\ \text{anni}}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Decadimento radioattivo · Logaritmo · Tempo di dimezzamento
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Modellizzare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione