Crescita esponenziale di una popolazione di batteri

Testo

Una popolazione di batteri cresce secondo $y=b\cdot a^{x}$ ($x$ in ore, $y$ numero di batteri). A $x=0$ i batteri sono $200$, dopo $5$ ore sono $1800$.

• (a) determina $b$ ed $a$;
• (b) calcola i batteri dopo $8$ ore;
• (c) dopo quante ore si raggiungono $10\,000$ batteri?

Soluzione

(a) $b=200$ (valore iniziale); $a^5=\dfrac{1800}{200}=9\Rightarrow a=\sqrt[5]{9}=9^{1/5}\approx1{,}552$.

(b) $y(8)=200\cdot 9^{8/5}\approx 200\cdot 33{,}63\approx 6727$ batteri.

(c) $10\,000=200\cdot 9^{x/5}\Rightarrow 9^{x/5}=50\Rightarrow \dfrac{x}{5}=\log_9 50$, quindi $x=5\log_9 50\approx 8{,}90$ ore.

$\boxed{b=200,\ a=\sqrt[5]{9}\approx1{,}55,\ y(8)\approx6727,\ x\approx8{,}90\ \text{h}}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Crescita esponenziale · Logaritmo
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Modellizzare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione