Funzioni definite a tratti

Una funzione può cambiare “formula” a seconda dell’intervallo in cui cade $x$: sono le funzioni definite a tratti, che avevamo già incontrato studiando il valore assoluto. Qui le trattiamo come oggetto autonomo: la definizione con il sistema di casi, come costruirle e disegnarle, il controllo della continuità nei punti di raccordo e il loro uso come modelli reali (tariffe a scaglioni, costi con franchigia).

• Definizione di funzione a tratti
• Costruire e disegnare una funzione a tratti
• Continuità nei punti di raccordo
• Funzioni a tratti come modelli

A function can change “formula” depending on the interval in which $x$ falls: these are piecewise functions, which we had already met when studying the absolute value. Here we treat them as an object in their own right: the definition using the system of cases, how to build and draw them, checking continuity at the junction points and their use as real-world models (tiered tariffs, costs with a free allowance).

• Definition of a piecewise function
• Building and drawing a piecewise function
• Continuity at the junction points
• Piecewise functions as models

Una funzione definita a tratti (o a pezzi) è una funzione che cambia “formula” a seconda di in quale intervallo cade $x$. Le abbiamo già incontrate nello studio del valore assoluto: ora le trattiamo come oggetto autonomo.

Definizione — Funzione definita a tratti

Una funzione $f\colon D\to\mathbb{R}$ è definita a tratti se $D$ è suddiviso in $n$ intervalli $I_1,\ldots,I_n$ con $D=I_1\cup\cdots\cup I_n$ e su ciascun $I_k$ si assegna una formula $f_k(x)$: $f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x\in I_1, \\ f_2(x) & x\in I_2, \\ \vdots & \\ f_n(x) & x\in I_n. \end{cases}$

Esempio — Funzione segno

$\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} +1 & x>0, \\ 0 & x=0, \\ -1 & x<0. \end{cases}$ Tre tratti costanti. Non è continua in $x=0$: salto di altezza $2$.

Esempio — Valore assoluto come funzione a tratti

$|x|=\begin{cases} x & x\ge 0 \\ -x & x<0\end{cases}$. Due tratti lineari che si incontrano in $(0,0)$ con la stessa altezza: continua ma non derivabile in $0$ (punto angoloso, che vedremo in Quinta).

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Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione definita a tratti · Funzione segno · Valore assoluto
Funzioni: Funzione segno · Valore assoluto

A piecewise function (or piecewise-defined function) is a function that changes “formula” depending on which interval $x$ falls into. We have already met them in the study of the absolute value: now we treat them as an object in their own right.

Definition — Piecewise function

A function $f\colon D\to\mathbb{R}$ is piecewise defined if $D$ is split into $n$ intervals $I_1,\ldots,I_n$ with $D=I_1\cup\cdots\cup I_n$ and on each $I_k$ a formula $f_k(x)$ is assigned: $f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x\in I_1, \\ f_2(x) & x\in I_2, \\ \vdots & \\ f_n(x) & x\in I_n. \end{cases}$

Example — Sign function

$\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} +1 & x>0, \\ 0 & x=0, \\ -1 & x<0. \end{cases}$ Three constant pieces. It is not continuous at $x=0$: a jump of height $2$.

Example — Absolute value as a piecewise function

$|x|=\begin{cases} x & x\ge 0 \\ -x & x<0\end{cases}$. Two linear pieces meeting at $(0,0)$ at the same height: continuous but not differentiable at $0$ (a corner point, which we shall see in Year Five).

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Concepts: Piecewise function · Sign function · Absolute value
Functions: Sign function · Absolute value

Per disegnare una funzione a tratti si traccia ciascun pezzo solo sul proprio intervallo, prestando attenzione ai punti di raccordo.

Esempio — Costruzione

$f(x)=\begin{cases} x+2 & x\le -1 \\ x^2 & -1<x<2 \\ 4 & x\ge 2\end{cases}$ Dominio: tutto $\mathbb{R}$ (i tre tratti coprono $(-\infty,-1]\cup(-1,2)\cup[2,+\infty)=\mathbb{R}$). Tratti: retta, parabola, costante. Nei punti di raccordo $x=-1$ e $x=2$ i tratti hanno la stessa altezza ($1$ e $4$ rispettivamente): la funzione è continua su tutto $\mathbb{R}$.

Grafico di $f$: il tratto lineare $x+2$ per $x\le -1$, l’arco di parabola $x^2$ per $-1<x<2$ e la costante $4$ per $x\ge 2$ si raccordano senza salti.

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Concetti: Continuita · Funzione definita a tratti
Competenze: Tracciare grafico

To draw a piecewise function you plot each piece only on its own interval, paying attention to the junction points.

Example — Construction

$f(x)=\begin{cases} x+2 & x\le -1 \\ x^2 & -1<x<2 \\ 4 & x\ge 2\end{cases}$ Domain: all of $\mathbb{R}$ (the three pieces cover $(-\infty,-1]\cup(-1,2)\cup[2,+\infty)=\mathbb{R}$). Pieces: line, parabola, constant. At the junction points $x=-1$ and $x=2$ the pieces have the same height ($1$ and $4$ respectively): the function is continuous on all of $\mathbb{R}$.

Graph of $f$: the linear piece $x+2$ for $x\le -1$, the arc of parabola $x^2$ for $-1<x<2$ and the constant $4$ for $x\ge 2$ join up without jumps.

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Concepts: Continuity · Piecewise function
Skills: Plotting a graph

Sui tratti aperti $I_k$ la funzione eredita la continuità della formula $f_k$. Nei punti di raccordo tra due tratti vicini bisogna controllare a mano che i due valori coincidano: se nel punto $x_0$ di confine tra $I_k$ e $I_{k+1}$ si ha

$\lim_{x\to x_0^-}f_k(x) = f(x_0) = \lim_{x\to x_0^+}f_{k+1}(x),$

la funzione è continua in $x_0$; altrimenti presenta un salto.

Esempio — Determinare un parametro per avere continuità

$f(x)=\begin{cases} 2x+a & x\le 1 \\ x^2 & x>1\end{cases}$. Per quale $a$ la funzione è continua in $x=1$?

A sinistra $\lim_{x\to 1^-}(2x+a)=2+a$; a destra $\lim_{x\to 1^+}x^2=1$; continuità $\iff 2+a=1\iff \boxed{a=-1}$.

Esempio — Intersezione con una retta

Trovare i punti di $f(x)=\begin{cases} -x+1 & x<0 \\ x^2 & x\ge 0\end{cases}$ che soddisfano $y=1$.

Su $x<0$: $-x+1=1 \iff x=0$, fuori intervallo $\to$ scartato. Su $x\ge 0$: $x^2=1 \iff x=1$ ($x=-1$ fuori). Punto $(1,1)$.

Inoltre il tratto $x<0$ ha limite a destra in $0$: $\lim_{x\to 0^-}(-x+1)=1$ — il valore $1$ è “avvicinato” da sinistra senza essere raggiunto. Importante leggere il dominio del tratto.

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Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni

On the open pieces $I_k$ the function inherits the continuity of the formula $f_k$. At the junction points between two neighbouring pieces you must check by hand that the two values coincide: if at the boundary point $x_0$ between $I_k$ and $I_{k+1}$ we have

$\lim_{x\to x_0^-}f_k(x) = f(x_0) = \lim_{x\to x_0^+}f_{k+1}(x),$

the function is continuous at $x_0$; otherwise it has a jump.

Example — Finding a parameter to obtain continuity

$f(x)=\begin{cases} 2x+a & x\le 1 \\ x^2 & x>1\end{cases}$. For which $a$ is the function continuous at $x=1$?

On the left $\lim_{x\to 1^-}(2x+a)=2+a$; on the right $\lim_{x\to 1^+}x^2=1$; continuity $\iff 2+a=1\iff \boxed{a=-1}$.

Example — Intersection with a line

Find the points of $f(x)=\begin{cases} -x+1 & x<0 \\ x^2 & x\ge 0\end{cases}$ that satisfy $y=1$.

On $x<0$: $-x+1=1 \iff x=0$, outside the interval $\to$ discarded. On $x\ge 0$: $x^2=1 \iff x=1$ ($x=-1$ outside). Point $(1,1)$.

Moreover the piece $x<0$ has a right-hand limit at $0$: $\lim_{x\to 0^-}(-x+1)=1$ — the value $1$ is “approached” from the left without being reached. It is important to read the domain of the piece.

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Concepts: Continuity · Piecewise function
Skills: Reasoning by cases · Solving equations

Le funzioni a tratti sono comode per scrivere modelli reali con regole differenti su intervalli diversi: tariffe a scaglioni, deformazione di un materiale prima e dopo il limite elastico, costo di un’utenza con franchigia. Risolvere un’equazione $f(x)=k$ o una disequazione $f(x)\lessgtr k$ si fa pezzo per pezzo, controllando alla fine la compatibilità con l’intervallo di ciascun tratto.

Esempio — Tariffa a scaglioni

Una compagnia telefonica fattura: $0{,}10$ €/min per i primi $100$ minuti del mese, $0{,}05$ €/min oltre. Costo totale in funzione dei minuti $m$: $C(m)=\begin{cases} 0{,}10\,m & 0\le m\le 100, \\ 10 + 0{,}05(m-100) & m>100.\end{cases}$ Per quanti minuti si paga $C=15$ euro? Su $0\le m\le 100$: $0{,}10\,m=15 \iff m=150$, fuori intervallo. Su $m>100$: $10+0{,}05(m-100)=15 \iff m-100=100 \iff m=200$. Soluzione: $\boxed{m=200}$ minuti.

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Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione definita a tratti
Competenze: Modellizzare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione

Piecewise functions are handy for writing real-world models with different rules on different intervals: tiered tariffs, deformation of a material before and after the elastic limit, the cost of a utility with a free allowance. Solving an equation $f(x)=k$ or an inequality $f(x)\lessgtr k$ is done piece by piece, checking at the end the compatibility with the interval of each piece.

Example — Tiered tariff

A telephone company charges: $0{,}10$ €/min for the first $100$ minutes of the month, $0{,}05$ €/min beyond that. Total cost as a function of the minutes $m$: $C(m)=\begin{cases} 0{,}10\,m & 0\le m\le 100, \\ 10 + 0{,}05(m-100) & m>100.\end{cases}$ For how many minutes does one pay $C=15$ euros? On $0\le m\le 100$: $0{,}10\,m=15 \iff m=150$, outside the interval. On $m>100$: $10+0{,}05(m-100)=15 \iff m-100=100 \iff m=200$. Solution: $\boxed{m=200}$ minutes.

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Concepts: Piecewise function
Skills: Modelling · Solving equations
Exercise types: Modelling problem