Studio completo di una funzione omografica

Testo

Data la funzione omografica $y=\dfrac{2-3x}{x+4}$:

• (a) determina centro e asintoti;
• (b) scrivila in forma implicita;
• (c) trova vertici e fuochi;
• (d) determina l’equazione dell’inversa.

Soluzione

(a) Asintoto verticale $x=-4$; asintoto orizzontale $y=\dfrac{-3}{1}=-3$. Centro $C(-4;-3)$.

(b) $y(x+4)=2-3x\Rightarrow xy+3x+4y=2\Rightarrow (x+4)(y+3)=14$.

(c) È un’iperbole equilatera con $k=14>0$: i vertici stanno sulla bisettrice $y+3=x+4$, con $(x+4)^2=14$, cioè $V\left(-4\pm\sqrt{14};-3\pm\sqrt{14}\right)$. Semiassi $a=b=\sqrt{2k}=2\sqrt7$, $c=2\sqrt{14}$; fuochi $F\left(-4\pm2\sqrt7;-3\pm2\sqrt7\right)$.

(d) Scambiando $x\leftrightarrow y$ e risolvendo: $y=\dfrac{2-4x}{x+3}$.

$\boxed{C(-4;-3);\ (x+4)(y+3)=14;\ y_{inv}=\tfrac{2-4x}{x+3}}$

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Asintoto orizzontale · Asintoto verticale · Centro di simmetria · Funzione inversa · Funzione omografica
Funzioni: Funzione omografica
Metodi: Iperbole canonica
Competenze: Geometria analitica · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione