Studio di una funzione omografica

Testo

Studiare la funzione omografica $y = \dfrac{3x-1}{x+2}$ (asintoti, centro, intersezioni con gli assi).

Soluzione

Con $a=3$, $b=-1$, $c=1$, $d=2$ si ha $ad-bc=3\cdot 2-(-1)\cdot 1=7\ne 0$: è una vera omografica.

Asintoto verticale: annulla il denominatore, $x+2=0 \iff \boxed{x=-2}$.

Asintoto orizzontale: per $|x|\to\infty$, $y\to\tfrac{3x}{x}=3$, quindi $\boxed{y=3}$.

Centro di simmetria: $O'\left(-\tfrac{d}{c};\tfrac{a}{c}\right)=\boxed{O'(-2;3)}$.

Intersezioni con gli assi:

• con $Oy$ ($x=0$): $y=\tfrac{3\cdot 0-1}{0+2}=-\tfrac{1}{2}$. Punto $\left(0;-\tfrac{1}{2}\right)$.
• con $Ox$ ($y=0$): $3x-1=0 \iff x=\tfrac{1}{3}$. Punto $\left(\tfrac{1}{3};0\right)$.

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Asintoto orizzontale · Asintoto verticale · Centro di simmetria · Funzione omografica
Funzioni: Funzione omografica
Metodi: Iperbole canonica
Competenze: Geometria analitica · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione