Studio di una funzione omografica con inversa

Testo

Data la funzione omografica $y = \dfrac{2x + 3}{x - 1}$:

• (a) determina centro e asintoti;
• (b) scrivila in forma implicita $(x-x_c)(y-y_c)=k$;
• (c) trova vertici e fuochi;
• (d) determina l’equazione dell’inversa.

Soluzione

(a) Asintoto verticale $x=1$; orizzontale $y=2$. Centro $C(1;2)$.

(b) $y(x-1)=2x+3\Rightarrow xy-y-2x=3\Rightarrow (x-1)(y-2)=5$, quindi $k=5>0$.

(c) Iperbole equilatera: vertici sulla bisettrice $y-2=x-1$, con $(x-1)^2=5$, cioè $V\left(1\pm\sqrt5;2\pm\sqrt5\right)$. Semiassi $a=b=\sqrt{2k}=\sqrt{10}$, $c=2\sqrt5$; fuochi $F\left(1\pm\sqrt{10};2\pm\sqrt{10}\right)$.

(d) Scambiando $x\leftrightarrow y$: $y=\dfrac{x+3}{x-2}$.

$\boxed{C(1;2);\ (x-1)(y-2)=5;\ y_{inv}=\tfrac{x+3}{x-2}}$

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Asintoto orizzontale · Asintoto verticale · Centro di simmetria · Funzione inversa · Funzione omografica
Funzioni: Funzione omografica
Metodi: Iperbole canonica
Competenze: Geometria analitica · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione