Elementi di un'ellisse per completamento del quadrato

Testo

Data $9x^2 + 4y^2 - 36x + 8y + 4 = 0$, completa il quadrato per portarla in forma canonica e determina: tipo di conica, centro, semiassi, fuochi ed eccentricità.

Soluzione

$9(x^2-4x)+4(y^2+2y)+4=0 \Rightarrow 9(x-2)^2-36+4(y+1)^2-4+4=0 \Rightarrow 9(x-2)^2+4(y+1)^2=36$, cioè $\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y+1)^2}{9}=1.$ È un’ellisse di centro $C(2;-1)$, con $a=2$ (semiasse orizzontale) e $b=3$ (semiasse verticale, il maggiore). Poiché l’asse maggiore è verticale, $c=\sqrt{9-4}=\sqrt5$ e i fuochi sono $F\left(2;-1\pm\sqrt5\right)$. L’eccentricità è $e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt5}{3}\approx 0{,}745.$

$\boxed{C(2;-1),\ a=2,\ b=3,\ F(2;-1\pm\sqrt5),\ e=\tfrac{\sqrt5}{3}}$

Collegamenti

Argomenti: Ellisse
Concetti: Completamento del quadrato · Eccentricita · Ellisse · Fuochi · Semiassi
Competenze: Calcolare · Geometria analitica
Tipo di esercizio: Problema geometrico