Circonferenza con centro su una retta e tangenti

Testo

Svolgi le seguenti richieste:

• (a) scrivi l’equazione della circonferenza di centro $A(5;-1)$ e raggio $4$;
• (b) scrivi l’equazione di una circonferenza passante per $A(5;-1)$ e $B(0;0)$ con centro sulla retta $y=2x+1$;
• (c) determina le tangenti alla circonferenza del punto (a) passanti per $P(-2;2)$.

Soluzione

(a) $(x-5)^2+(y+1)^2=16$, cioè $x^2+y^2-10x+2y+10=0$.

(b) Centro $C(t;\,2t+1)$. Imponendo $\overline{CO}=\overline{CA}$: $t^2+(2t+1)^2=(t-5)^2+(2t+2)^2\Rightarrow 6t=28\Rightarrow t=\tfrac{14}{3}$. Quindi $C\left(\tfrac{14}{3};\tfrac{31}{3}\right)$ e $R^2=\overline{CO}^2=\tfrac{1157}{9}$: $\left(x-\tfrac{14}{3}\right)^2+\left(y-\tfrac{31}{3}\right)^2=\tfrac{1157}{9}$.

(c) Retta $y-2=m(x+2)$. Distanza da $C(5;-1)$ uguale a $4$: $\dfrac{|7m+3|}{\sqrt{m^2+1}}=4\Rightarrow 33m^2+42m-7=0\Rightarrow m=\dfrac{-42\pm\sqrt{2688}}{66}=\dfrac{-21\pm4\sqrt{42}}{33}$.

$\boxed{(x-5)^2+(y+1)^2=16;\quad C\left(\tfrac{14}{3};\tfrac{31}{3}\right);\quad m=\tfrac{-21\pm4\sqrt{42}}{33}}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Distanza punto retta · Equazione circonferenza · Retta · Retta tangente
Metodi: Circonferenza equazione
Competenze: Geometria analitica · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Problema geometrico