Tangenti a una circonferenza con più metodi

Testo

Sia data la circonferenza di centro $A(-2;-1)$ e raggio $3$.

• (a) scrivi la sua equazione;
• (b) determina le tangenti da $P(3;2)$ (metodo della distanza);
• (c) determina le tangenti parallele a $y=-2x$ (metodo della distanza);
• (d) trova la tangente nel punto della circonferenza con $x=-1$ (metodo della perpendicolare al raggio).

Soluzione

(a) $(x+2)^2+(y+1)^2=9$, cioè $x^2+y^2+4x+2y-4=0$.

(b) Retta $y-2=m(x-3)$. Distanza da $A$ uguale a $3$: $\dfrac{|{-5m}+3|}{\sqrt{m^2+1}}=3\Rightarrow 16m^2-30m=0\Rightarrow m=0\ \vee\ m=\tfrac{15}{8}$. Tangenti $y=2$ e $y=\tfrac{15}{8}x-\tfrac{29}{8}$.

(c) Retta $y=-2x+q$, cioè $2x+y-q=0$. $\dfrac{|-5-q|}{\sqrt5}=3\Rightarrow q=-5\pm3\sqrt5$. Tangenti $y=-2x-5\pm3\sqrt5$.

(d) Il punto con $x=-1$: $(-1+2)^2+(y+1)^2=9\Rightarrow y=-1\pm2\sqrt2$. Nel punto $T\left(-1;-1+2\sqrt2\right)$ il raggio ha pendenza $2\sqrt2$, quindi la tangente ha pendenza $-\tfrac{1}{2\sqrt2}=-\tfrac{\sqrt2}{4}$: $y=-\tfrac{\sqrt2}{4}(x+1)-1+2\sqrt2$. Analogamente per l’altro punto la pendenza è $+\tfrac{\sqrt2}{4}$.

$\boxed{\text{(b) } y=2,\ y=\tfrac{15}{8}x-\tfrac{29}{8};\quad \text{(c) } y=-2x-5\pm3\sqrt5}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Distanza punto retta · Retta · Retta tangente · Rette perpendicolari
Metodi: Circonferenza equazione
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico