Circonferenza, intersezioni con una retta e tangenti parallele

Testo

Considera la circonferenza di centro $C(3;2)$ e raggio $5$.

• (a) disegnala;
• (b) trovane l’equazione;
• (c) determina l’intersezione tra la circonferenza e la retta $y=\dfrac{1}{2}x+3$;
• (d) trova le equazioni delle due rette tangenti alla circonferenza che sono parallele alla retta $y=\dfrac{1}{2}x+3$.

Soluzione

(a)–(b) Dalla forma $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$: $(x-3)^2+(y-2)^2=25\ \Longleftrightarrow\ x^2+y^2-6x-4y-12=0.$

(c) Sostituendo $y=\tfrac12 x+3$ nell’equazione: $x^2+\left(\tfrac12 x+3\right)^2-6x-4\left(\tfrac12 x+3\right)-12=0\Rightarrow \tfrac54 x^2-5x-15=0\Rightarrow x^2-4x-12=0.$ Quindi $x=6$ oppure $x=-2$, da cui i punti $A(6;6)$ e $B(-2;2)$.

(d) Le tangenti parallele hanno pendenza $\tfrac12$: $y=\tfrac12 x+q$, cioè $x-2y+2q=0$. Imponendo distanza da $C$ uguale a $5$: $\frac{|3-2\cdot 2+2q|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|2q-1|}{\sqrt5}=5\Rightarrow |2q-1|=5\sqrt5\Rightarrow q=\frac{1\pm5\sqrt5}{2}.$ Tangenti $y=\tfrac12 x+\dfrac{1+5\sqrt5}{2}\approx \tfrac12 x+6{,}09$ e $y=\tfrac12 x+\dfrac{1-5\sqrt5}{2}\approx \tfrac12 x-5{,}09$.

$\boxed{x^2+y^2-6x-4y-12=0;\ A(6;6),\ B(-2;2);\ q=\tfrac{1\pm5\sqrt5}{2}}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Distanza punto retta · Retta · Retta tangente
Metodi: Circonferenza equazione
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico