Triangolo rettangolo nel piano cartesiano

Testo

Dato il triangolo di vertici $A(0;1)$, $B(1;4)$, $C(7;2)$:

• (a) determina la lunghezza dei lati e verifica che il triangolo è rettangolo;
• (b) determina l’equazione della retta $AC$;
• (c) trova la lunghezza dell’altezza relativa all’ipotenusa usando la distanza punto-retta;
• (d) trova la retta per $B$ perpendicolare ad $AC$ e il suo punto di intersezione $H$ con $AC$.

Soluzione

(a) $\overline{AB}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$, $\overline{BC}=\sqrt{6^2+(-2)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$, $\overline{AC}=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2$. Poiché $\overline{AB}^2+\overline{BC}^2=10+40=50=\overline{AC}^2$, il triangolo è rettangolo in $B$.

(b) Retta $AC$: pendenza $\dfrac{2-1}{7-0}=\dfrac17$, quindi $y=\dfrac{x}{7}+1$, ovvero $x-7y+7=0$.

(c) Altezza $=$ distanza di $B(1;4)$ da $AC$: $h=\frac{|1-7\cdot 4+7|}{\sqrt{1^2+7^2}}=\frac{|-20|}{\sqrt{50}}=\frac{20}{5\sqrt2}=2\sqrt2\approx 2{,}828.$

(d) La perpendicolare per $B$ ha pendenza $-7$: $y-4=-7(x-1)\implies y=-7x+11$. Intersezione con $AC$: $\frac{x}{7}+1=-7x+11 \implies x+7=-49x+77 \implies 50x=70 \implies x=\tfrac75,\ y=\tfrac65.$ Quindi $H\left(\tfrac75;\tfrac65\right)=(1{,}4;\,1{,}2)$.

$\boxed{\overline{AB}=\sqrt{10},\ \overline{BC}=2\sqrt{10},\ \overline{AC}=5\sqrt2,\ h=2\sqrt2,\ H\left(\tfrac75;\tfrac65\right)}$

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Distanza punto retta · Distanza tra punti · Equazione della retta · Piano cartesiano · Retta · Rette perpendicolari
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico