Parabola come luogo da fuoco e direttrice

Testo

Determina l’equazione del luogo dei punti $P(x,y)$ equidistanti dal fuoco $F(0,2)$ e dalla retta direttrice $y=-2$.

Soluzione

Impongo l’uguaglianza tra la distanza di $P$ dal fuoco e la distanza dalla direttrice: $\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}=|y+2|.$ Elevo al quadrato entrambi i membri: $x^{2}+(y-2)^{2}=(y+2)^{2}\;\Rightarrow\; x^{2}+y^{2}-4y+4=y^{2}+4y+4.$ Semplificando $y^{2}$ e $4$: $x^{2}-4y=4y$, cioè $x^{2}=8y$. Il luogo è la parabola con vertice nell’origine $\boxed{\;y=\dfrac{x^{2}}{8}\;}$

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Direttrice · Fuoco · Parabola
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico