L'asse di un segmento

L’asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dai suoi estremi: geometricamente è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio. Ricavandone l’equazione dalla condizione di luogo si scopre anche perché il risultato è sempre una retta.

• L’asse come luogo
• Asse di un segmento dato
• Perché il luogo è una retta

The perpendicular bisector of a segment is the locus of the points equidistant from its endpoints: geometrically it is the line perpendicular to the segment passing through its midpoint. Deriving its equation from the locus condition also reveals why the result is always a line.

• The perpendicular bisector as a locus
• Perpendicular bisector of a given segment
• Why the locus is a line

Osservazione

L’asse di un segmento di estremi $A$ e $B$ è il luogo dei punti del piano che hanno uguale distanza da $A$ e da $B$: $P \in a \iff d(P, A) = d(P, B).$ Geometricamente è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio.

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Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Asse di segmento · Distanza tra punti · Luogo geometrico · Piano cartesiano
Competenze: Geometria analitica

Remark

The perpendicular bisector of a segment with endpoints $A$ and $B$ is the locus of the points of the plane that are equidistant from $A$ and from $B$: $P \in a \iff d(P, A) = d(P, B).$ Geometrically it is the line perpendicular to the segment passing through its midpoint.

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Topics: Loci
Concepts: Perpendicular bisector of a segment · Distance between points · Locus · Cartesian plane
Skills: Analytic geometry

Esempio

Dato il segmento $AB$ con $A(-2;-4)$ e $B(4;1)$, scriverne l’asse.

Condizione di luogo: $\sqrt{(x+2)^2 + (y+4)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + (y-1)^2}.$ Entrambi i membri sono distanze, quindi $\ge 0$ “per costruzione”: non servono condizioni di esistenza e si può elevare al quadrato. $(x+2)^2 + (y+4)^2 = (x-4)^2 + (y-1)^2.$ Sviluppando i quadrati, i termini $x^2$ e $y^2$ si cancellano (ecco perché il luogo è una retta!) e rimane: $4x + 4 + 8y + 16 = -8x + 16 - 2y + 1 \implies 12x + 10y + 3 = 0.$ Scritta in forma esplicita: $\boxed{y = -\tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{10}}$.

Il segmento $AB$, il suo punto medio $M$ e l’asse (retta blu), perpendicolare ad $AB$ e passante per $M$.

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Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Asse di segmento · Distanza tra punti · Equazione della retta · Piano cartesiano · Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni

Example

Given the segment $AB$ with $A(-2;-4)$ and $B(4;1)$, write its perpendicular bisector.

Locus condition: $\sqrt{(x+2)^2 + (y+4)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + (y-1)^2}.$ Both sides are distances, hence $\ge 0$ “by construction”: no existence conditions are needed and one can square. $(x+2)^2 + (y+4)^2 = (x-4)^2 + (y-1)^2.$ Expanding the squares, the $x^2$ and $y^2$ terms cancel (this is why the locus is a line!) and there remains: $4x + 4 + 8y + 16 = -8x + 16 - 2y + 1 \implies 12x + 10y + 3 = 0.$ Written in explicit form: $\boxed{y = -\tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{10}}$.

The segment $AB$, its midpoint $M$ and the perpendicular bisector (blue line), perpendicular to $AB$ and passing through $M$.

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Skills: Analytic geometry · Solving equations

Osservazione — Perché le coordinate quadrate si semplificano sempre

L’uguaglianza di due distanze dà sempre un’equazione del tipo $(x-a_1)^2 + (y-b_1)^2 = (x-a_2)^2 + (y-b_2)^2.$ Quando si sviluppano i quadrati, i termini $x^2$ e $y^2$ compaiono a entrambi i membri con coefficiente $+1$ e si cancellano. Il risultato è quindi un polinomio di primo grado in $x,y$, cioè l’equazione di una retta.

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Concetti: Asse di segmento · Distanza tra punti · Equazione della retta · Piano cartesiano · Retta
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica

Remark — Why the squared coordinates always simplify

The equality of two distances always gives an equation of the type $(x-a_1)^2 + (y-b_1)^2 = (x-a_2)^2 + (y-b_2)^2.$ When the squares are expanded, the $x^2$ and $y^2$ terms appear on both sides with coefficient $+1$ and cancel. The result is therefore a polynomial of the first degree in $x,y$, that is the equation of a line.

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