Condizione di tangenza di un fascio a una parabola

Testo

Determina per quali valori di $m$ le rette del fascio $y=mx+1$ sono tangenti alla parabola $y=x^{2}-3x+5$.

Soluzione

Metto a sistema retta e parabola e impongo che l’equazione risolvente abbia una sola soluzione: $x^{2}-3x+5=mx+1\;\Rightarrow\; x^{2}-(3+m)x+4=0.$ La tangenza corrisponde a discriminante nullo: $\Delta=(3+m)^{2}-16=0\;\Rightarrow\;(3+m)^{2}=16\;\Rightarrow\; 3+m=\pm 4.$ Quindi $m=1$ oppure $m=-7$. $\boxed{\,m=1\quad\lor\quad m=-7\,}$

Collegamenti

Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Condizione di tangenza · Discriminante
Funzioni: Parabola · Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico