Disequazioni con radicali, moduli e frazioni

Testo

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni:

• (a) $x-\sqrt{1-x}=-1$
• (b) $\sqrt{x+2}\le x$
• (c) $|x-2|\ge x$
• (d) $2+|x|=x+3$
• (e) $\dfrac{x (x^2+x+3)}{(x-2)^2}\le 0$
• (f) $\dfrac{1-x^2}{9-x^2}\le 0$

Soluzione

(a) $\sqrt{1-x}=x+1$ (con $x\le1$, $x\ge-1$). Quadrando $x^2+3x=0\Rightarrow x=0$ o $x=-3$; accettabile solo $x=0$.

(b) CE $x\ge-2$; serve $x\ge0$. Quadrando $x^2-x-2\ge0\Rightarrow (x-2)(x+1)\ge0$; con $x\ge0$ resta $x\ge2$.

(c) Per $x\le2$: $2-x\ge x\Rightarrow x\le1$; per $x>2$ è falsa. Soluzione $x\le1$.

(d) $|x|=x+1$: per $x\ge0$ impossibile; per $x<0$, $-x=x+1\Rightarrow x=-\tfrac12$.

(e) $x^2+x+3>0$ sempre e $(x-2)^2>0$ per $x\neq2$: il segno è quello di $x$, quindi $\le0 \iff x\le0$.

(f) $\dfrac{(1-x)(1+x)}{(3-x)(3+x)}\le0$: studio dei segni con capisaldi $\pm1,\pm3$ dà $-3<x\le-1 \ \vee\ 1\le x<3$.

$\boxed{\text{(a) } x{=}0;\ \text{(b) } x\ge2;\ \text{(c) } x\le1;\ \text{(d) } x{=}{-}\tfrac12;\ \text{(e) } x\le0;\ \text{(f) } -3<x\le-1\vee 1\le x<3}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Disequazione fratta · Disequazione irrazionale · Valore assoluto
Metodi: Disequazione irrazionale casistica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione