Sei disequazioni irrazionali

Testo

Risolvi le seguenti disequazioni:

• (a) $\sqrt{x+1}\ge x-1$
• (b) $\sqrt{3-2x}\le 9+2x$
• (c) $5\sqrt{5x-x^{2}}\ge 3+5x$
• (d) $\sqrt{x+3}\ge |x+3|$
• (e) $\dfrac{-1+x-\sqrt{x^{2}-9}}{16-x^{2}}\ge0$
• (f) $\sqrt{2+x}-\sqrt{4-x}\le 2$

Soluzione

(a) CE $x\ge-1$. Se $x<1$ è sempre vera; se $x\ge1$ quadrando $x+1\ge x^2-2x+1\Rightarrow x(x-3)\le0\Rightarrow 1\le x\le3$. Unione: $-1\le x\le 3$.

(b) CE $x\le\tfrac32$ e $9+2x\ge0$ ($x\ge-\tfrac92$). Quadrando: $2x^2+19x+39\ge0$, con zeri $-3,-\tfrac{13}{2}$; intersecando con $[-\tfrac92,\tfrac32]$ resta $-3\le x\le\tfrac32$.

(c) CE $0\le x\le5$; qui $3+5x>0$. Quadrando: $50x^2-95x+9\le0\Rightarrow \tfrac{1}{10}\le x\le\tfrac{9}{5}$.

(d) Posto $u=x+3\ge0$: $\sqrt u\ge u \iff 0\le u\le1 \iff -3\le x\le-2$.

(e) CE $x\le-3\vee x\ge3$, $x\neq\pm4$. Il numeratore $x-1-\sqrt{x^2-9}$ è $\ge0$ solo per $3\le x\le5$; studiando i segni con $16-x^2$ si ottiene $x<-4 \ \vee\ 3\le x<4 \ \vee\ x\ge5$.

(f) CE $-2\le x\le4$. $\sqrt{2+x}\le2+\sqrt{4-x}$; quadrando due volte si riduce a $x-3\le2\sqrt{4-x}$, vera per $x<3$ e, per $x\ge3$, fino a $x=1+2\sqrt2$. Soluzione $-2\le x\le 1+2\sqrt2$.

$\boxed{\text{(a) } [-1,3];\ \text{(b) } [-3,\tfrac32];\ \text{(c) } [\tfrac1{10},\tfrac95];\ \text{(d) } [-3,-2];\ \text{(e) } x<-4\vee 3\le x<4\vee x\ge5;\ \text{(f) } [-2,\,1+2\sqrt2]}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale
Metodi: Disequazione irrazionale casistica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione