Esercizio svolto — Tipologia II con semicirconferenza

Testo

Classifica e risolvi: $\sqrt{9-x^2}\ge x-1.$

Soluzione

È una Tipologia II ($\sqrt{A}\ge B$): unione di due casi. La CE è $9-x^2\ge 0 \iff -3\le x\le 3$.

Caso 1 ($x-1<0$, cioè $x<1$): la disequazione è automaticamente vera entro le CE. Otteniamo $-3\le x<1$.

Caso 2 ($x-1\ge 0$, cioè $x\ge 1$): si eleva al quadrato. $9-x^2 \ge (x-1)^2 = x^2-2x+1 \implies 2x^2-2x-8\le 0 \implies x^2-x-4\le 0.$ Gli zeri sono $x=\dfrac{1\pm\sqrt{17}}{2}\approx -1{,}56 \ \text{e}\ 2{,}56$, quindi $x^2-x-4\le 0$ per $\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\le x\le \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$. Intersecando con $x\ge 1$ e con la CE $x\le 3$: $1\le x\le \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$.

Unione: $\bigl[-3,\,1\bigr) \cup \Bigl[1,\ \tfrac{1+\sqrt{17}}{2}\Bigr]$.

Soluzione: $\boxed{\,-3\le x\le \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\,}$ (con $\tfrac{1+\sqrt{17}}{2}\approx 2{,}56$).

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale
Metodi: Disequazione irrazionale casistica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione