Esempio completo con la retta dei segni

Un esercizio completo che mette insieme il metodo di Tipologia I e l’intersezione grafica degli intervalli sulla retta dei segni.

Esempio — $\sqrt{x^2+3x-4} + \dfrac{x}{2} - 2 \le 0$

Isoliamo la radice: qui non c’è alcun denominatore con la $x$, quindi la portiamo direttamente al primo membro. $\sqrt{x^2+3x-4} \le 2 - \tfrac{x}{2} = \tfrac{4-x}{2}.$ È una Tipologia I. Sistema equivalente: $\begin{cases} x^2+3x-4 \ge 0 & \text{(CE della radice)} \\ \tfrac{4-x}{2} \ge 0 & \text{(secondo membro } \ge 0) \\ x^2+3x-4 \le \left(\tfrac{4-x}{2}\right)^2 & \text{(elevamento)} \end{cases}$

Prima disequazione: $x^2+3x-4=(x+4)(x-1)\ge 0 \implies x\le -4 \vee x\ge 1$.

Seconda disequazione: $4-x\ge 0 \implies x\le 4$.

Terza disequazione: sviluppiamo il quadrato $x^2+3x-4 \le \tfrac{16-8x+x^2}{4}$ e moltiplichiamo per $4$ (positivo, verso conservato): $4x^2+12x-16 \le 16-8x+x^2 \implies 3x^2+20x-32 \le 0.$ Risolvo l’equazione associata $3x^2+20x-32=0$: $\Delta = 400+384=784=28^2, \quad x_{1,2}=\frac{-20\pm 28}{6} \implies x_1=-8,\ x_2=\tfrac{4}{3}.$ Dunque $3x^2+20x-32\le 0$ per $-8\le x\le \tfrac{4}{3}$.

Intersezione delle tre: $\bigl(x\le -4 \vee x\ge 1\bigr) \ \wedge\ x\le 4 \ \wedge\ -8\le x\le \tfrac{4}{3}$.

Soluzione: $\boxed{\,-8\le x\le -4 \ \vee\ 1\le x\le \tfrac{4}{3}\,}$.

La retta dei segni rende visibile l’intersezione: si riportano le tre condizioni una sopra l’altra e si prende la zona comune a tutte.

Le tre condizioni sovrapposte sulla retta dei segni; in arancione l’intersezione, $-8\le x\le -4$ e $1\le x\le \tfrac{4}{3}$.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
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