Problema — Centro sulla bisettrice dell'angolo

Testo

Una circonferenza di centro $O$ è tangente a entrambi i lati di un angolo di vertice $V$. Dimostrare che il centro $O$ appartiene alla bisettrice dell’angolo.

Soluzione

Siano $A$ e $B$ i punti in cui la circonferenza tocca i due lati dell’angolo. I raggi $OA$ e $OB$ sono perpendicolari ai lati nei punti di tangenza e valgono entrambi $r$. I triangoli $OAV$ e $OBV$ sono rettangoli in $A$ e in $B$, hanno l’ipotenusa $OV$ in comune e i cateti $\overline{OA} = \overline{OB} = r$: per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli sono congruenti. Ne segue $\widehat{OVA} = \widehat{OVB}$, cioè la semiretta $VO$ divide l’angolo in due parti congruenti: il centro $O$ giace sulla bisettrice. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Bisettrice · Retta · Tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione