Quadrato inscritto in un quadrato con angoli di 30 e 60 gradi

Testo

Dentro un quadrato $ABCD$ è inscritto un altro quadrato $EFGH$, in modo che ogni vertice $E,F,G,H$ si trovi su un lato diverso di $ABCD$, e in modo che i lati di $EFGH$ formino angoli di $30^\circ$ e $60^\circ$ con quelli di $ABCD$. Sai che la diagonale di $EFGH$ è lunga $1$. Determina l’area di $ABCD$.

Soluzione

Sia $s$ il lato del quadrato interno. Dalla diagonale $s\sqrt2=1$ ricavo $s=\dfrac{1}{\sqrt2}$. Ogni lato di $ABCD$ è ”coperto” dalle proiezioni di due lati consecutivi di $EFGH$, inclinati di $30^\circ$: detto $L$ il lato di $ABCD$, $L=s\cos30^\circ+s\sin30^\circ=s\,\frac{\sqrt3+1}{2}.$ Sostituendo $s=\dfrac{1}{\sqrt2}$: $L=\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}\ \Longrightarrow\ \text{Area}_{ABCD}=L^2=\frac{(\sqrt3+1)^2}{8}=\frac{4+2\sqrt3}{8}=\frac{2+\sqrt3}{4}.$ $\boxed{\text{Area}_{ABCD}=\frac{2+\sqrt3}{4}\approx0{,}933.}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Diagonale · Quadrato · Triangolo rettangolo
Competenze: Calcolare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Problema geometrico