Triangolo rettangolo da raggi inscritto e circoscritto

Testo

Un triangolo rettangolo ha raggio del cerchio circoscritto uguale a $\dfrac52$ e raggio del cerchio inscritto uguale a $1$. Determina le misure dei cateti e dell’ipotenusa.

Soluzione

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è un diametro del cerchio circoscritto: $c=2R=2\cdot\dfrac52=5$. Il raggio inscritto di un triangolo rettangolo è $r=\dfrac{a+b-c}{2}$, quindi $1=\frac{a+b-5}{2}\ \Longrightarrow\ a+b=7.$ Con Pitagora $a^2+b^2=c^2=25$: $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=49-25=24\ \Rightarrow\ ab=12.$ $a,b$ sono radici di $t^2-7t+12=0$, cioè $t=3$ e $t=4$. $\boxed{\text{cateti }3\text{ e }4,\quad \text{ipotenusa }5.}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Cerchio circoscritto · Cerchio inscritto · Teorema di pitagora · Triangolo rettangolo
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico