Incentro - concorrenza delle bisettrici

L’incentro è l’intersezione delle tre bisettrici degli angoli interni ed è equidistante dai tre lati: la distanza comune è il raggio della circonferenza inscritta.

Teorema — Concorrenza delle bisettrici

Le tre bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un unico punto $I$ (incentro), equidistante dai tre lati.

Dimostrazione — Le bisettrici sono concorrenti

1. Siano $b_A$ la bisettrice dell’angolo $\widehat{A}$ e $b_B$ quella dell’angolo $\widehat{B}$, e sia $I$ il loro punto di intersezione.
2. Poiché $I$ sta sulla bisettrice di $\widehat{A}$, è equidistante dai lati $AB$ e $AC$: $d(I,AB)\cong d(I,AC)$.
3. Poiché $I$ sta sulla bisettrice di $\widehat{B}$, è equidistante dai lati $AB$ e $BC$: $d(I,AB)\cong d(I,BC)$.
4. Per transitività: $d(I,AC)\cong d(I,BC)$, dunque $I$ sta anche sulla bisettrice di $\widehat{C}$: le tre bisettrici sono concorrenti in $I$.
5. La distanza comune $r = d(I, \text{lato})$ è il raggio della circonferenza inscritta.

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Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Bisettrice · Circonferenza inscritta · Incentro · Retta
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica