Corda minima per un punto interno e media proporzionale

Testo

Sia $A$ un punto interno a una circonferenza. Per $A$ si conduce la corda perpendicolare al raggio passante per $A$: sia $EF$ questa corda, di cui $A$ è il punto medio, e chiamiamo $\overline{AF}$ la sua semicorda.

• (a) Dimostra che la semicorda $\overline{AF}$ è media proporzionale tra i due segmenti in cui $A$ divide una qualsiasi altra corda passante per $A$.
• (b) Una corda passante per $A$ è divisa da $A$ nei due segmenti di lunghezze $4$ e $9$. Calcola $\overline{AF}$.

Soluzione

(a) Sia $PQ$ una qualsiasi corda passante per $A$, con $\overline{AP}=p$ e $\overline{AQ}=q$. Considero i triangoli $APF$ e $AEQ$, dove $E$ e $F$ sono gli estremi della corda perpendicolare al raggio ($\overline{AE}=\overline{AF}$).

• Gli angoli $\widehat{PFA}$ (cioè $\widehat{PFE}$) e $\widehat{QEA}$ (cioè $\widehat{QEF}$) sono angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco $PQ$… più semplicemente uso gli angoli opposti al vertice e gli angoli alla circonferenza:
• $\widehat{FAP}\cong\widehat{EAQ}$ (angoli opposti al vertice in $A$);
• $\widehat{AFP}\cong\widehat{AQE}$ (angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco $EP$).

Per il primo criterio i triangoli $AFP$ e $AQE$ sono simili, quindi i lati omologhi sono in proporzione: $\frac{\overline{AF}}{\overline{AQ}}=\frac{\overline{AP}}{\overline{AE}}.$ Poiché $\overline{AE}=\overline{AF}$, sostituendo si ottiene $\frac{\overline{AF}}{q}=\frac{p}{\overline{AF}}\ \Longrightarrow\ \overline{AF}^{\,2}=p\cdot q,$ cioè $\overline{AF}$ è media proporzionale tra $p$ e $q$. Questo prodotto $p\cdot q$ è lo stesso per ogni corda passante per $A$ (potenza del punto), quindi $EF$ è effettivamente la corda più corta per $A$ ed è bisecata da $A$. $\blacksquare$

(b) Con $p=4$ e $q=9$: $\overline{AF}=\sqrt{p\cdot q}=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6.$ $\boxed{\overline{AF}=6.}$

Collegamenti

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