Segmenti staccati dalla bisettrice sul lato opposto

Testo

In un triangolo $ABC$ i lati misurano $\overline{AB}=9$, $\overline{AC}=6$ e $\overline{BC}=10$. La bisettrice dell’angolo $\hat A$ incontra il lato $BC$ nel punto $H$. Determina la lunghezza dei due segmenti $\overline{BH}$ e $\overline{HC}$ in cui il lato $BC$ risulta diviso.

Soluzione

Per il teorema della bisettrice la bisettrice di $\hat A$ divide il lato opposto $BC$ in parti proporzionali ai lati $AB$ e $AC$: $\frac{\overline{BH}}{\overline{HC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.$ Pongo $\overline{BH}=3t$ e $\overline{HC}=2t$. Poiché $H$ appartiene al segmento $BC$, la somma dei due segmenti è il lato intero: $\overline{BH}+\overline{HC}=\overline{BC}\ \Longrightarrow\ 3t+2t=10\ \Longrightarrow\ 5t=10\ \Longrightarrow\ t=2.$ Quindi $\overline{BH}=3t=6,\qquad \overline{HC}=2t=4.$ $\boxed{\overline{BH}=6,\qquad \overline{HC}=4.}$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Proporzione · Teorema della bisettrice
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico