Primo teorema di Euclide, dimostrazioni e inverso

Testo

Considera il primo teorema di Euclide:

• (a) enuncia il teorema;
• (b) dimostralo utilizzando l’equivalenza;
• (c) dimostralo utilizzando la similitudine;
• (d) dimostra l’inverso: se in un triangolo vale la proprietà del primo teorema di Euclide, allora il triangolo è rettangolo (usa i criteri di similitudine).

Soluzione

Sia $ABC$ rettangolo in $C$, con $CH$ altezza relativa all’ipotenusa $AB$; $AH$ e $BH$ sono le proiezioni dei cateti $AC$ e $BC$.

(a) Enunciato. In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto su di essa. In forma di similitudine: ogni cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la propria proiezione: $\overline{AC}^{\,2}=\overline{AB}\cdot\overline{AH},\qquad \overline{BC}^{\,2}=\overline{AB}\cdot\overline{BH}.$

(b) Dimostrazione per equivalenza. Il quadrato $ACDE$ sul cateto $AC$ e il rettangolo di lati $AB$ e $AH$ hanno la stessa base $AC$… più precisamente si costruisce il quadrato su $AC$ e il rettangolo $AH\cdot AB$ e si mostra, con opportune traslazioni/scomposizioni (parallelogrammi con la stessa base tra le stesse parallele sono equivalenti), che entrambi sono equivalenti allo stesso parallelogramma; dunque $\overline{AC}^{\,2}=\overline{AB}\cdot\overline{AH}.$

(c) Dimostrazione per similitudine. I triangoli $ACH$ e $ABC$ hanno l’angolo $\hat A$ in comune ed entrambi un angolo retto ($\widehat{AHC}=\widehat{ACB}=90^\circ$): per il primo criterio di similitudine $ACH\sim ABC$. Dalla proporzione tra lati omologhi $\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AH}}{\overline{AC}}\ \Longrightarrow\ \overline{AC}^{\,2}=\overline{AB}\cdot\overline{AH}.$

(d) Inverso. Ipotesi: in $ABC$ esiste $H\in AB$ con $CH\perp AB$ e $\overline{AC}^{\,2}=\overline{AB}\cdot\overline{AH}$. Allora $\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{AH}}{\overline{AC}}$, e i triangoli $ACH$ e $ABC$ hanno l’angolo $\hat A$ comune compreso tra lati in proporzione: per il secondo criterio di similitudine $ACH\sim ABC$. Quindi $\widehat{ACB}\cong\widehat{AHC}=90^\circ$: il triangolo $ABC$ è rettangolo in $C$. $\;\blacksquare$ $\boxed{\overline{AC}^{\,2}=\overline{AB}\cdot\overline{AH}\iff \widehat{ACB}=90^\circ.}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Equivalenza · Similitudine · Teoremi di euclide · Triangolo rettangolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Enunciato teorema