Ipotenusa, altezza e proiezioni dei cateti

Testo

Il triangolo $RST$ è rettangolo con l’angolo retto in $S$ e ha i cateti $\overline{SR}=15$ e $\overline{ST}=20$. Detto $H$ il piede dell’altezza relativa all’ipotenusa $RT$, calcola:

• l’ipotenusa $\overline{RT}$;
• l’altezza $\overline{SH}$ relativa all’ipotenusa;
• le due proiezioni $\overline{RH}$ e $\overline{TH}$ dei cateti sull’ipotenusa.

Soluzione

Ipotenusa. Per il teorema di Pitagora: $\overline{RT}=\sqrt{\overline{SR}^2+\overline{ST}^2}=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25.$ Altezza relativa all’ipotenusa. Uguagliando le due espressioni dell’area ($\tfrac12\,\overline{SR}\cdot\overline{ST}=\tfrac12\,\overline{RT}\cdot\overline{SH}$): $\overline{SH}=\frac{\overline{SR}\cdot\overline{ST}}{\overline{RT}}=\frac{15\cdot 20}{25}=\frac{300}{25}=12.$ Proiezioni dei cateti. Per il primo teorema di Euclide ogni cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la propria proiezione, quindi $\overline{RH}=\dfrac{\overline{SR}^2}{\overline{RT}}$ e $\overline{TH}=\dfrac{\overline{ST}^2}{\overline{RT}}$: $\overline{RH}=\frac{15^2}{25}=\frac{225}{25}=9,\qquad \overline{TH}=\frac{20^2}{25}=\frac{400}{25}=16.$ Verifica: $\overline{RH}+\overline{TH}=9+16=25=\overline{RT}$ e $\overline{SH}^2=12^2=144=9\cdot 16=\overline{RH}\cdot\overline{TH}$ (secondo teorema di Euclide). $\boxed{\overline{RT}=25,\quad \overline{SH}=12,\quad \overline{RH}=9,\quad \overline{TH}=16}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Altezza · Cateto · Ipotenusa · Teorema di euclide · Teorema di pitagora
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico