Cateti con i teoremi di Pitagora ed Euclide

Testo

In un triangolo rettangolo $A\hat{B}C$ (angolo retto in $B$) l’ipotenusa misura $\overline{AC}=9$. Sapendo che $\overline{BH}^2+\overline{AB}^2=5\,\overline{AH}^2$, dove $\overline{BH}$ è l’altezza relativa all’ipotenusa e $H$ il suo piede, determina i cateti applicando i teoremi di Pitagora ed Euclide.

Soluzione

Chiamiamo $\overline{AH}=p$ e $\overline{HC}=q$, con $p+q=9$. I teoremi di Euclide danno: $\overline{AB}^2 = p\cdot \overline{AC}=9p, \qquad \overline{BH}^2 = p\cdot q.$ Sostituiamo nella condizione $\overline{BH}^2+\overline{AB}^2=5\,\overline{AH}^2$: $pq + 9p = 5p^2 \implies q + 9 = 5p \implies q = 5p-9.$ Con $p+q=9$: $p+(5p-9)=9 \implies 6p=18 \implies p=3$, quindi $q=6$. Allora $\overline{AB}^2=9\cdot 3=27 \implies \overline{AB}=3\sqrt3\approx 5{,}196,$ $\overline{BC}^2=q\cdot \overline{AC}=6\cdot 9=54 \implies \overline{BC}=3\sqrt6\approx 7{,}348.$

$\boxed{\overline{AB}=3\sqrt3,\qquad \overline{BC}=3\sqrt6}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Altezza relativa ipotenusa · Teorema di euclide · Teorema di pitagora
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico