Torta a rombo divisa in tre parti equivalenti

Testo

Una torta a forma di rombo viene tagliata con due tagli simmetrici, paralleli alla diagonale minore, uno sopra e uno sotto di essa. A quali altezze della diagonale maggiore (in percentuale) vanno effettuati i due tagli, se si vuole dividere l’area della torta in tre parti equivalenti?

Soluzione

Dispongo la diagonale maggiore in verticale, con il centro $O$ a metà. La metà superiore del rombo è un triangolo di apice il vertice alto e base la diagonale minore (in $O$); la sua area è $\dfrac{A}{2}$. La parte sopra il taglio superiore è un triangolo simile a questo, con apice lo stesso vertice, e deve avere area $\dfrac{A}{3}$. Il rapporto delle aree è $\frac{A/3}{A/2}=\frac23\ \Longrightarrow\ \text{rapporto lineare }k=\sqrt{\tfrac23}=\frac{\sqrt6}{3}\approx0{,}8165.$ Il taglio dista dal vertice alto $k\cdot\dfrac{D}{2}$ (con $D$ diagonale maggiore), cioè si trova all’altezza $1-\frac{k}{2}=1-0{,}4082=0{,}5918\quad\text{della diagonale maggiore.}$ Per simmetria il taglio inferiore è a $1-0{,}5918=0{,}4082$. In percentuale: $\boxed{\text{tagli al }\approx40{,}8\%\ \text{e}\ \approx59{,}2\%\ \text{della diagonale maggiore.}}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Area · Equivalenza · Rombo · Similitudine
Competenze: Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Problema geometrico · Problema modellizzazione