Prezzo di massimo profitto per i tagliaerba

Testo

L’azienda Barbalbero produce tagliaerba. Il costo di produzione è di $40$ monete di zinco l’uno. A un prezzo di $100$ monete se ne vendono $200$; a un prezzo di $50$ monete se ne vendono $500$. Determina il prezzo che massimizza il profitto di Barbalbero, calcola tale profitto massimo e il numero di tagliaerba venduti al prezzo ottimale.

Soluzione

Curva di domanda lineare $q=mp+b$. Dai punti $(100,200)$ e $(50,500)$: $m=\frac{500-200}{50-100}=-6,\qquad 200=-6\cdot 100+b\Rightarrow b=800\quad\Rightarrow\quad q=800-6p.$ Profitto: $\pi(p)=(p-40)(800-6p)=-6p^2+1040p-32000.$ Vertice (massimo): $p^\ast=-\frac{1040}{2\cdot(-6)}=\frac{1040}{12}=\frac{260}{3}\approx 86{,}67\ \text{monete}.$ Quantità $q=800-6\cdot\dfrac{260}{3}=800-520=280$; profitto $\pi_{\max}=\left(\frac{260}{3}-40\right)\cdot 280=\frac{140}{3}\cdot 280=\frac{39200}{3}\approx 13066{,}67\ \text{monete}.$

$\boxed{p^\ast=\tfrac{260}{3}\approx 86{,}67,\quad q^\ast=280,\quad \pi_{\max}=\tfrac{39200}{3}\approx 13066{,}67}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Curva di domanda · Parabola · Problema di realtà · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Modellizzare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione