Numero ottimale di lampadine per il massimo profitto

Testo

L’azienda Meucciolight produce lampadine. Il costo di produzione è di $10$ talleri l’una. Se ne immette $1000$ sul mercato il prezzo di vendita risulta $20$ talleri; se ne immette $500$ il prezzo risulta $30$ talleri. Determina il numero ottimale di lampadine da produrre per massimizzare il profitto, calcola tale profitto massimo e trova il prezzo di vendita nelle condizioni di massimo.

Soluzione

Curva di domanda lineare $q=mp+b$. Dai punti $(p,q)=(20,1000)$ e $(30,500)$: $m=\frac{500-1000}{30-20}=-50,\qquad 1000=-50\cdot 20+b\Rightarrow b=2000\quad\Rightarrow\quad q=2000-50p.$ Profitto: $\pi(p)=(p-10)(2000-50p)=-50p^2+2500p-20000.$ Vertice (massimo): $p^\ast=-\frac{2500}{2\cdot(-50)}=25\ \text{talleri}.$ Quantità $q=2000-50\cdot 25=750$ lampadine; profitto $\pi_{\max}=(25-10)\cdot 750=11250\ \text{talleri}.$

$\boxed{q^\ast=750,\quad p^\ast=25\ \text{talleri},\quad \pi_{\max}=11250\ \text{talleri}}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Curva di domanda · Parabola · Problema di realtà · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Modellizzare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione