Prezzo di massimo profitto per le bistecche di canguro

Testo

L’azienda EleFanti produce bistecche di canguro. Il costo di produzione è di 20\,\$$ l'una. A un prezzo di 30,$$gli zoo ne comprano$500$; se il prezzo sale a$50,$$ne comprano solo$300$. Determina il prezzo che massimizza il profitto di EleFanti e calcola tale profitto massimo.

Soluzione

Curva di domanda lineare $q=mp+b$. Dai due punti $(30,500)$ e $(50,300)$: $m=\frac{300-500}{50-30}=-10,\qquad 500=-10\cdot 30+b\Rightarrow b=800\quad\Rightarrow\quad q=800-10p.$ Profitto = (prezzo − costo) × quantità: $\pi(p)=(p-20)(800-10p)=-10p^2+1000p-16000.$ È una parabola con concavità verso il basso; il massimo è nel vertice: $p^\ast=-\frac{1000}{2\cdot(-10)}=50\,\$.$ Quantità venduta $q=800-10\cdot 50=300$; profitto $\pi_{\max}=(50-20)\cdot 300=9000\,\$.$

$\boxed{p^\ast=50\,\$,\quad \pi_{\max}=9000\,\$\ (q=300)}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Curva di domanda · Parabola · Problema di realtà · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Modellizzare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione