Due parabole dal grafico ed espressione differenza

Testo

Dalla figura sono disegnate due parabole $R$ e $J$. Dal grafico si legge che $R$ ha concavità verso l’alto, vertice $V_R(-3;1)$ e passa per $(-1;3)$; mentre $J$ ha concavità verso il basso, interseca l’asse $x$ in $x=-5$ e $x=1$ e ha vertice $V_J(-2;3)$.

• (a) determina vertici e intersezioni con gli assi di $R$ e $J$;
• (b) trova l’equazione di $R$;
• (c) trova l’equazione di $J$;
• (d) dimostra che $R-J=\dfrac{5x^2}{6}+\dfrac{13x}{3}+\dfrac{23}{6}$;
• (e) poni $R-J=0$, risolvi e spiega il significato delle soluzioni.

Soluzione

(b) Equazione di $R$. Dal vertice $V_R(-3;1)$: $R:\;y=a(x+3)^2+1$. Passaggio per $(-1;3)$: $a(2)^2+1=3\Rightarrow 4a=2\Rightarrow a=\tfrac12$. Quindi $R:\;y=\tfrac12(x+3)^2+1=\tfrac12 x^2+3x+\tfrac{11}{2}.$

(c) Equazione di $J$. Dalle radici $x=-5$ e $x=1$: $J:\;y=a(x+5)(x-1)$. Il vertice ha $x=-2$; imponendo $y(-2)=3$: $a(3)(-3)=-9a=3\Rightarrow a=-\tfrac13$. Quindi $J:\;y=-\tfrac13(x+5)(x-1)=-\tfrac13 x^2-\tfrac43 x+\tfrac53.$

(a) Vertici e intersezioni. $R$: vertice $(-3;1)$; poiché la concavità è verso l’alto e $y_V=1>0$, non interseca l’asse $x$; interseca l’asse $y$ in $\left(0;\tfrac{11}{2}\right)$. $J$: vertice $(-2;3)$; interseca l’asse $x$ in $(-5;0)$ e $(1;0)$; interseca l’asse $y$ in $\left(0;\tfrac53\right)$.

(d) Differenza. $R-J=\left(\tfrac12+\tfrac13\right)x^2+\left(3+\tfrac43\right)x+\left(\tfrac{11}{2}-\tfrac53\right)=\tfrac{5}{6}x^2+\tfrac{13}{3}x+\tfrac{23}{6}.$

(e) $\tfrac56 x^2+\tfrac{13}{3}x+\tfrac{23}{6}=0\;\Rightarrow\;5x^2+26x+23=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac{-26\pm\sqrt{676-460}}{10}=\dfrac{-13\pm3\sqrt6}{5}\approx-1{,}13\ \text{e}\ -4{,}07.$ Porre $R-J=0$ equivale a imporre $R=J$: le soluzioni sono dunque le ascisse dei punti di intersezione delle due parabole.

$\boxed{R:\;y=\tfrac12(x+3)^2+1;\quad J:\;y=-\tfrac13(x+5)(x-1);\quad R\cap J:\ x=\tfrac{-13\pm3\sqrt6}{5}}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Equazione della parabola · Parabola · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico