Due parabole: equazioni, intersezioni e parabola differenza

Testo

Dalla figura due parabole $B$ e $R$: $B$ ha concavità verso l’alto, interseca l’asse $x$ in $x=-4$ e $x=2$ e passa per $\left(0;-\tfrac{16}{9}\right)$; $R$ ha concavità verso il basso con vertice $V_R(-3;0)$ e passa per $(-1;-2)$. (a) determina vertici e intersezioni con gli assi di $B$ e $R$; (b) trova l’equazione di $B$; (c) trova l’equazione di $R$; (d) determina le intersezioni tra $B$ e $R$; (e) determina l’equazione della parabola $B-R$, il suo vertice e le sue intersezioni con gli assi.

Soluzione

(b) Equazione di $B$. Radici $x=-4$ e $x=2$, quindi $y=a(x+4)(x-2)$. Passaggio per $\left(0;-\tfrac{16}{9}\right)$: $a(4)(-2)=-8a=-\frac{16}{9}\;\Rightarrow\;a=\frac29.$ $B:\; y=\frac29(x+4)(x-2)=\frac29\left(x^2+2x-8\right).$

(c) Equazione di $R$. Vertice $(-3;0)$, quindi $y=a(x+3)^2$. Passaggio per $(-1;-2)$: $a(-1+3)^2=a\cdot4=-2\;\Rightarrow\;a=-\frac12.$ $R:\; y=-\frac12(x+3)^2.$

(a) Vertici e intersezioni con gli assi. $B$: vertice in $x=\tfrac{-4+2}{2}=-1$, $\;y=\tfrac29(1-2-8)=\tfrac29(-9)=-2$, quindi $V_B(-1;-2)$; intersezioni asse $x$ in $(-4;0)$ e $(2;0)$; intersezione asse $y$ in $\left(0;-\tfrac{16}{9}\right)$. $R$: vertice $V_R(-3;0)$; interseca l’asse $x$ solo in $x=-3$ (radice doppia), $(-3;0)$; intersezione asse $y$ in $x=0\Rightarrow y=-\tfrac12(9)=-\tfrac92$, cioè $\left(0;-\tfrac92\right)$.

(d) Intersezioni $B\cap R$. $\frac29\left(x^2+2x-8\right)=-\frac12(x+3)^2.$ Moltiplicando per $18$: $4\left(x^2+2x-8\right)=-9(x+3)^2$ $4x^2+8x-32=-9x^2-54x-81$ $13x^2+62x+49=0.$ $x=\frac{-62\pm\sqrt{62^2-4\cdot13\cdot49}}{2\cdot13}=\frac{-62\pm\sqrt{3844-2548}}{26}=\frac{-62\pm\sqrt{1296}}{26}=\frac{-62\pm36}{26}.$ Quindi $x=-1$ (con $y=-2$) e $x=-\tfrac{98}{26}=-\tfrac{49}{13}\approx-3{,}769$.

(e) Parabola $B-R$. $B-R=\frac29\left(x^2+2x-8\right)+\frac12(x+3)^2.$ Sviluppando: $\tfrac29x^2+\tfrac49x-\tfrac{16}{9}+\tfrac12x^2+3x+\tfrac92$. Coefficienti: $x^2:\;\frac29+\frac12=\frac{13}{18},\qquad x:\;\frac49+3=\frac{31}{9},\qquad \text{cost.}:\;-\frac{16}{9}+\frac92=\frac{49}{18}.$ $B-R:\; y=\frac{13}{18}x^2+\frac{31}{9}x+\frac{49}{18}.$ Vertice: $x_V=-\dfrac{31/9}{2\cdot 13/18}=-\dfrac{31/9}{13/9}=-\dfrac{31}{13}\approx-2{,}385$. Il discriminante è $\left(\frac{31}{9}\right)^2-4\cdot\frac{13}{18}\cdot\frac{49}{18}=\frac{961}{81}-\frac{2548}{324}=\frac{3844-2548}{324}=\frac{1296}{324}=4,$ quindi $y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{4}{4\cdot 13/18}=-\dfrac{18}{13}\approx-1{,}385$. Intersezioni con l’asse $x$: $\tfrac{13}{18}x^2+\tfrac{31}{9}x+\tfrac{49}{18}=0\Rightarrow 13x^2+62x+49=0$, cioè le stesse di (d): $x=-1$ e $x=-\tfrac{49}{13}$. Intersezione con l’asse $y$: $x=0\Rightarrow y=\tfrac{49}{18}$. $\boxed{B:\,y=\tfrac29\left(x^2+2x-8\right);\ \ R:\,y=-\tfrac12(x+3)^2;\ \ B\cap R:\,x=-1,\,x=-\tfrac{49}{13};\ \ B-R:\,y=\tfrac{13}{18}x^2+\tfrac{31}{9}x+\tfrac{49}{18},\ V\left(-\tfrac{31}{13};-\tfrac{18}{13}\right)}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Equazione della parabola · Parabola · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico