Equazione di una parabola dai suoi elementi e parabola con minimo

Testo

Dalla figura una parabola ha concavità verso il basso, passa per l’origine e per il punto $(-6;0)$, con vertice $V\left(-3;\tfrac92\right)$; è inoltre disegnata la retta per i punti $(0;1)$ e $(-3;3)$. (a) determina l’equazione della retta; (b) determina il vertice e le intersezioni con gli assi della parabola; (c) determina l’equazione della parabola; (d) inventa l’equazione di una seconda parabola che intersechi l’asse $x$ negli stessi punti ma abbia un minimo invece di un massimo.

Soluzione

(a) Equazione della retta. La retta passa per $(0;1)$ e $(-3;3)$. Il coefficiente angolare è $m=\frac{3-1}{-3-0}=\frac{2}{-3}=-\frac23.$ Con intercetta $q=1$: $y=-\frac23x+1.$

(b) Vertice e intersezioni con gli assi. Vertice: $V\left(-3;\tfrac92\right)$. Intersezioni con l’asse $x$: $x=0$ e $x=-6$, cioè $(0;0)$ e $(-6;0)$. Intersezione con l’asse $y$: $x=0\Rightarrow y=0$, l’origine $(0;0)$.

(c) Equazione della parabola. Radici $x=0$ e $x=-6$, quindi $y=a\,x(x+6).$ Il vertice ha ascissa $x_V=-3$; imponendo $y_V=\tfrac92$: $\frac92=a(-3)(-3+6)=-9a \;\Rightarrow\; a=-\frac12.$ Concavità verso il basso ($a<0$), come richiesto: $y=-\frac12x(x+6)=-\frac12x^2-3x.$

(d) Seconda parabola con minimo. Stesse radici $x=0$ e $x=-6$ ma con concavità verso l’alto: basta scegliere $a>0$. Con $a=1$: $y=x(x+6)=x^2+6x,$ che ha vertice (minimo) in $\left(-3;-9\right)$. $\boxed{y=-\tfrac23x+1;\quad y=-\tfrac12x^2-3x;\quad V\left(-3;\tfrac92\right);\quad y=x^2+6x}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Equazione della parabola · Parabola · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico