Determinare l'equazione di una parabola e di una retta

Testo

Nel piano cartesiano sono disegnate una parabola e una retta. Dalla figura si legge che la parabola ha vertice $V\left(-3;-\tfrac92\right)$ e passa per l’origine e per il punto $(-6;0)$, mentre la retta passa per i punti $(0;1)$ e $(3;-1)$. (a) determina l’equazione della retta; (b) determina l’equazione della parabola; (c) determina le coordinate del vertice e le intersezioni della parabola con gli assi; (d) trova le intersezioni tra la retta e la parabola.

Soluzione

(a) Equazione della retta. La retta passa per $(0;1)$ e $(3;-1)$. Il coefficiente angolare è $m=\frac{-1-1}{3-0}=\frac{-2}{3}=-\frac23.$ Poiché l’intercetta è $q=1$ (passaggio per $(0;1)$), $y=-\frac23x+1.$

(b) Equazione della parabola. La parabola passa per le radici $x=0$ e $x=-6$, quindi ha la forma $y=a\,x(x+6).$ Il vertice ha ascissa $x_V=-3$; imponendo $y_V=-\tfrac92$: $-\frac92=a(-3)(-3+6)=a(-3)(3)=-9a \;\Rightarrow\; a=\frac12.$ Dunque $y=\frac12x(x+6)=\frac12x^2+3x.$

(c) Vertice e intersezioni con gli assi. Vertice: $V\left(-3;-\tfrac92\right)$. Intersezioni con l’asse $x$: $x=0$ e $x=-6$, cioè $(0;0)$ e $(-6;0)$. Intersezione con l’asse $y$: $x=0\Rightarrow y=0$, cioè l’origine $(0;0)$.

(d) Intersezioni retta–parabola. $\frac12x^2+3x=-\frac23x+1.$ Moltiplicando per $6$: $3x^2+18x=-4x+6 \;\Rightarrow\; 3x^2+22x-6=0.$ $x=\frac{-22\pm\sqrt{22^2+4\cdot3\cdot6}}{2\cdot3}=\frac{-22\pm\sqrt{484+72}}{6}=\frac{-22\pm\sqrt{556}}{6}.$ Poiché $\sqrt{556}=2\sqrt{139}$, si semplifica: $x=\frac{-11\pm\sqrt{139}}{3}.$ Numericamente $x\approx0{,}263$ e $x\approx-7{,}596$; le ordinate si ottengono sostituendo nella retta $y=-\tfrac23x+1$. $\boxed{y=-\tfrac23x+1;\quad y=\tfrac12x^2+3x;\quad V\left(-3;-\tfrac92\right);\quad x=\frac{-11\pm\sqrt{139}}{3}}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Equazione della parabola · Parabola · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico