Grafici di funzioni con valore assoluto

Testo

Disegna il grafico:

• (a) $y=|x-2|(x-2)-4$
• (b) $y=x+|x-2|+1$

Soluzione

Si toglie il valore assoluto per casi, con caposaldo $x=2$.

(a) Per $x\ge2$: $y=(x-2)^2-4$, arco di parabola con concavità in su e vertice $(2;-4)$. Per $x<2$: $y=-(x-2)^2-4$, arco di parabola con concavità in giù, sempre con “vertice” $(2;-4)$. Il grafico è continuo in $(2;-4)$ e ha forma a “S” (cubica dispari traslata). Per $x\ge2$ interseca l’asse $x$ dove $(x-2)^2=4\Rightarrow x=4$.

(b) Per $x\ge2$: $y=x+(x-2)+1=2x-1$ (retta di pendenza $2$). Per $x<2$: $y=x-(x-2)+1=3$ (retta orizzontale). I due tratti si raccordano in $(2;3)$: il grafico è costante $y=3$ fino a $x=2$ e poi cresce lungo la retta $y=2x-1$.

$\boxed{\text{(a) } y=\begin{cases}(x-2)^2-4 & x\ge2\ -(x-2)^2-4 & x<2\end{cases}\quad \text{(b) } y=\begin{cases}2x-1 & x\ge2\ 3 & x<2\end{cases}}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Funzione definita a tratti · Parabola · Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Problema geometrico