Rettangolo di area massima in un semicerchio

Testo

In un semicerchio di raggio $r$ è inscritto un rettangolo con un lato sul diametro. Trova le dimensioni che rendono massima l’area.

Rettangolo inscritto nel semicerchio: base $2x$, altezza $y$.

Soluzione

Con $x^2+y^2=r^2$ e area $A=2xy$, sostituendo $y=\sqrt{r^2-x^2}$: $A(x)=2x\sqrt{r^2-x^2}.$ Elevando al quadrato: $A^2=4x^2(r^2-x^2)=-4x^4+4r^2x^2.$ È una parabola nella variabile $x^2$, con la concavità verso il basso: il massimo si ha nel vertice, cioè in $x^2=\dfrac{r^2}{2}$, da cui $x=\dfrac{r}{\sqrt2}$ e $y=\sqrt{r^2-\dfrac{r^2}{2}}=\dfrac{r}{\sqrt2}$.

Dimensioni: base $=2x=r\sqrt2$, altezza $=y=\dfrac{r}{\sqrt2}=\dfrac{r\sqrt2}{2}$, con area massima $A_{\max}=\boxed{r^2}$.

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Parabola · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema geometrico