Dimostrare $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}$

Testo

Dimostra che la media quadratica di due numeri reali non è mai minore della loro media aritmetica: per ogni $a,b$ con $a+b\ge 0$, $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\frac{a+b}{2}.$

Soluzione

Entrambi i membri sono non negativi (il sinistro per definizione di radice, il destro perché $a+b\ge 0$), quindi possiamo confrontare i quadrati: $\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{2a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}\ge 0.$ Dunque il quadrato del primo membro è $\ge$ del quadrato del secondo, e per la monotonia della radice segue la tesi. Uguaglianza se e solo se $a=b$. $\boxed{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\frac{a+b}{2},\qquad =\ \text{sse } a=b.}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Media aritmetica · Quadrato
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione