Dimostrare $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$ per $a+b\ge 0$

Testo

Dimostra che, per ogni coppia di numeri reali con $a+b\ge 0$, $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2.$

Soluzione

Portiamo tutto a primo membro e raccogliamo: $a^3+b^3-a^2b-ab^2=a^2(a-b)-b^2(a-b)=(a-b)(a^2-b^2)=(a-b)^2(a+b).$ Il fattore $(a-b)^2\ge 0$ e, per ipotesi, $(a+b)\ge 0$; quindi il prodotto è $\ge 0$. L’uguaglianza vale se $a=b$ oppure $a+b=0$. $\boxed{a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\quad(a+b\ge 0).}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Scomposizione in fattori
Competenze: Dimostrare · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Dimostrazione