Dimostrare $\sqrt{uv}\le\dfrac{u+v}{2}$ per $u,v\ge 0$

Testo

Dimostra la disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica: per ogni coppia di numeri $u,v\ge 0$, $\sqrt{uv}\le\frac{u+v}{2}.$

Soluzione

Poiché $u,v\ge 0$, possiamo scrivere $u=(\sqrt{u})^2$ e $v=(\sqrt{v})^2$. Calcoliamo la differenza: $\frac{u+v}{2}-\sqrt{uv}=\frac{u-2\sqrt{uv}+v}{2}=\frac{(\sqrt{u}-\sqrt{v})^2}{2}\ge 0.$ Quindi $\dfrac{u+v}{2}\ge\sqrt{uv}$. L’uguaglianza vale se e solo se $\sqrt{u}=\sqrt{v}$, cioè $u=v$. $\boxed{\sqrt{uv}\le\frac{u+v}{2},\qquad =\ \text{sse } u=v.}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Media aritmetica · Media geometrica · Quadrato
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione