Equazioni e disequazioni di secondo grado con studio del segno

Testo

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni, studiando il segno della relativa parabola:

• (a) $(x+6)^2<1$
• (b) $\dfrac{1}{3}x^2+x\sqrt{7}+\dfrac{21}{4}\le 0$
• (c) $-x^2\le -3$
• (d) $-x^2+5x+9\le 0$

Soluzione

(a) $(x+6)^2<1 \iff |x+6|<1 \iff -1<x+6<1 \iff -7<x<-5$.

(b) Moltiplichiamo per $12$: $4x^2+12\sqrt7\,x+63\le 0$. Il discriminante è $\Delta=(12\sqrt7)^2-4\cdot4\cdot63=1008-1008=0$: la parabola (concavità in su) tocca l’asse $x$ in un solo punto e altrove è positiva. Quindi $\le 0$ solo in $x=-\dfrac{12\sqrt7}{8}=-\dfrac{3\sqrt7}{2}$.

(c) $-x^2\le -3 \iff x^2\ge 3 \iff x\le -\sqrt3 \ \vee\ x\ge \sqrt3$.

(d) $-x^2+5x+9\le 0 \iff x^2-5x-9\ge 0$. Gli zeri sono $x=\dfrac{5\pm\sqrt{61}}{2}$, e la parabola (in su) è $\ge 0$ all’esterno: $x\le \frac{5-\sqrt{61}}{2}\ \vee\ x\ge \frac{5+\sqrt{61}}{2}.$

$\boxed{\text{(a) } -7<x<-5;\ \ \text{(b) } x=-\tfrac{3\sqrt7}{2};\ \ \text{(c) } x\le-\sqrt3\vee x\ge\sqrt3;\ \ \text{(d) } x\le\tfrac{5-\sqrt{61}}{2}\vee x\ge\tfrac{5+\sqrt{61}}{2}}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Discriminante · Disequazione secondo grado · Studio del segno
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione