Caso a negativo, Delta positivo

Quando la concavità è verso il basso e ci sono due zeri, la parabola sta sotto l’asse $x$ esternamente agli zeri. Qui usiamo anche il completamento del quadrato per trovare il vertice.

Esempio — Caso $a<0$, $\Delta>0$ con completamento del quadrato

Risolvere $-2x^2-12x+16 \le 0$.

Concavità: $a=-2 < 0$, parabola verso il basso. Completiamo il quadrato: $-2(x^2+6x)+16 = -2\bigl[(x+3)^2-9\bigr]+16 = -2(x+3)^2+34.$ Vertice: $V(-3,\,34)$. Zeri: $-2(x+3)^2+34=0 \implies (x+3)^2=17 \implies x=-3\pm\sqrt{17}$. $\Delta=144+128>0$.

Cerchiamo dove la parabola sta sotto o sull’ asse $x$. Per il caso $a<0$, $\Delta>0$, ciò avviene esternamente agli zeri.

La soluzione è formata dai due tratti esterni agli zeri; i pallini sono pieni perché la disequazione è $\le 0$.

Soluzione: $\boxed{x \le -3-\sqrt{17} \;\;\text{oppure}\;\; x \ge -3+\sqrt{17}}$.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Completamento del quadrato · Disequazione secondo grado · Parabola · Vertice parabola
Metodi: Disequazione secondo grado · Parabola vertice
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere disequazioni