Terza mossa — svolgere

Scelta la strada, si esegue. Questa è la fase in cui si fanno i conti o si scrive la dimostrazione. Sembra la parte più “meccanica” del lavoro, ma ha anche le sue regole. La sezione le raccoglie e le mette all’opera sui due problemi guida: il sistema del rettangolo e la dimostrazione della bisettrice.

• Regole per uno svolgimento pulito
• Esempio — svolgere il problema del rettangolo
• Esempio — svolgere la dimostrazione della bisettrice

Once you have chosen the route, you carry it out. This is the stage where you do the calculations or write the proof. It seems the most “mechanical” part of the work, yet it too has its rules. This section gathers them and puts them to work on the two guiding problems: the rectangle system and the angle-bisector proof.

• Rules for a clean write-up
• Example — carrying out the rectangle problem
• Example — carrying out the angle-bisector proof

Scelta la strada, si esegue. Questa è la fase in cui si fanno i conti o si scrive la dimostrazione. Sembra la parte più “meccanica” del lavoro, ma ha anche le sue regole.

In sintesi — Regole per uno svolgimento pulito

1. Un passaggio alla volta. Non saltare righe. Meglio scrivere di più che di meno.
2. Giustifica ogni passaggio importante. Non basta ”$3x = 15$, quindi $x=5$”; scrivi anche quale regola hai usato (“divido entrambi i membri per $3$, per il II principio di equivalenza”).
3. Usa i simboli in modo coerente. Se hai chiamato $x$ la base del rettangolo, non cambiarla a metà esercizio.
4. Se arrivi a qualcosa di strano, fermati. Un’uguaglianza assurda tipo $0=5$ o un angolo di $200°$ significa che c’è un errore prima: meglio accorgersene subito.

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Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Risoluzione problemi · Svolgimento
Competenze: Calcolare

Once you have chosen the route, you carry it out. This is the stage where you do the calculations or write the proof. It seems the most “mechanical” part of the work, yet it too has its rules.

In brief — Rules for a clean write-up

1. One step at a time. Do not skip lines. Better to write too much than too little.
2. Justify every important step. It is not enough to write ”$3x = 15$, therefore $x=5$”; also write which rule you used (“I divide both sides by $3$, by the second principle of equivalence”).
3. Use symbols consistently. If you have called $x$ the base of the rectangle, do not change it halfway through the exercise.
4. If you reach something strange, stop. An absurd equality like $0=5$, or an angle of $200°$, means there is a mistake earlier: better to notice it straight away.

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Topics: Working method
Concepts: Problem solving · Write-up
Skills: Calculating

Esempio — Svolgere il problema del rettangolo

Dal sistema $\begin{cases} 2x+2y=24 \\ xy=32 \end{cases}$, isolo $y$ dalla prima: $y = 12 - x.$ Sostituisco nella seconda: $x\,(12-x) = 32 \;\Longrightarrow\; -x^2+12x-32=0 \;\Longrightarrow\; x^2-12x+32=0.$ Uso la formula risolutiva: $x = \frac{12\pm\sqrt{144-128}}{2} = \frac{12\pm 4}{2}.$ Dunque $x=8$ oppure $x=4$. Nei due casi, $y=12-x$ dà $y=4$ o $y=8$. Il rettangolo ha lati $\boxed{4\ \text{cm}}$ e $\boxed{8\ \text{cm}}$ (le due soluzioni corrispondono allo stesso rettangolo, visto da base o da altezza).

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Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Svolgimento
Competenze: Calcolare · Risolvere equazioni · Risolvere sistemi

Example — Carrying out the rectangle problem

From the system $\begin{cases} 2x+2y=24 \\ xy=32 \end{cases}$, I isolate $y$ from the first equation: $y = 12 - x.$ I substitute into the second: $x\,(12-x) = 32 \;\Longrightarrow\; -x^2+12x-32=0 \;\Longrightarrow\; x^2-12x+32=0.$ I use the quadratic formula: $x = \frac{12\pm\sqrt{144-128}}{2} = \frac{12\pm 4}{2}.$ Hence $x=8$ or $x=4$. In the two cases, $y=12-x$ gives $y=4$ or $y=8$. The rectangle has sides $\boxed{4\ \text{cm}}$ and $\boxed{8\ \text{cm}}$ (the two solutions correspond to the same rectangle, seen from its base or from its height).

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Concepts: Write-up
Skills: Calculating · Solving equations · Solving systems

Esempio — Svolgere la dimostrazione della bisettrice

Nei triangoli $ABM$ e $ACM$ abbiamo:

• $AB \cong AC$ (per ipotesi, triangolo isoscele);
• $\widehat{BAM} \cong \widehat{CAM}$ (per ipotesi, $AM$ è la bisettrice);
• $AM$ è lato in comune.

Per il I criterio di congruenza (lato–angolo–lato): $\triangle ABM \cong \triangle ACM$. Da qui seguono:

• $BM\cong CM$ $\implies$ $AM$ è mediana;
• $\widehat{AMB}\cong\widehat{AMC}$; ma i due angoli sono supplementari (formano l’angolo piatto $BMC$), quindi ciascuno vale $\frac{\pi}{2}$ $\implies$ $AM$ è altezza. $\blacksquare$

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Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Svolgimento
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

Example — Carrying out the angle-bisector proof

In triangles $ABM$ and $ACM$ we have:

• $AB \cong AC$ (by hypothesis, isosceles triangle);
• $\widehat{BAM} \cong \widehat{CAM}$ (by hypothesis, $AM$ is the bisector);
• $AM$ is a common side.

By the first congruence criterion (side–angle–side): $\triangle ABM \cong \triangle ACM$. From this it follows that:

• $BM\cong CM$ $\implies$ $AM$ is a median;
• $\widehat{AMB}\cong\widehat{AMC}$; but the two angles are supplementary (they form the straight angle $BMC$), so each equals $\frac{\pi}{2}$ $\implies$ $AM$ is an altitude. $\blacksquare$

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