Seconda mossa — cercare una strada

Capito il problema, bisogna decidere come affrontarlo. È la fase più creativa, e anche la più scomoda: spesso non si sa da dove partire. Questa sezione raccoglie cinque tecniche per “sbloccarsi”, le applica ai due problemi guida e spiega perché il momento in cui ti blocchi è, in realtà, il più prezioso.

• Cinque tecniche per sbloccarsi
• Esempio — cercare la strada, il rettangolo
• Esempio — cercare la strada, il triangolo isoscele
• Il momento in cui ti blocchi

Once you have understood the problem, you must decide how to tackle it. It is the most creative phase, and also the most uncomfortable: often you do not know where to start. This section gathers five techniques to “get unstuck”, applies them to the two guiding problems and explains why the moment when you get stuck is, in fact, the most precious.

• Five techniques to get unstuck
• Example — finding the path, the rectangle
• Example — finding the path, the isosceles triangle
• The moment when you get stuck

Capito il problema, bisogna decidere come affrontarlo. È la fase più creativa, e anche la più scomoda: spesso non si sa da dove partire. Ecco alcune tecniche che aiutano a “sbloccarsi”.

Proprietà — Cinque tecniche per sbloccarsi

1. Parti dal caso semplice. Se il problema generale ti sembra troppo grande, prova con numeri piccoli, con $n=1, 2, 3$, con una figura simmetrica. Spesso ciò che vedi nel caso semplice si estende a quello generale.
2. Ragiona all’indietro. Parti dalla tesi: per ottenere questo, cosa mi basterebbe? Poi: per ottenere quel “cosa”, cosa mi basterebbe? Fino a collegarti ai dati.
3. Cerca un problema simile già risolto. Hai già visto qualcosa del genere? Un teorema che ha la stessa forma? Una figura che appare nelle stesse condizioni?
4. Introduci qualcosa. Un’incognita, un segmento ausiliario, un sistema di coordinate, un nome per un angolo. Spesso la strada si apre solo dopo aver aggiunto un elemento nuovo.
5. Formula una congettura. Non devi essere sicuro: scrivi “secondo me vale…” e poi prova a verificarlo su un caso. Se cade, avrai comunque imparato qualcosa.

Storia — L'euristica di Pólya

Queste cinque tecniche sono la versione scolastica dell’euristica che George Pólya raccolse in How to Solve It (1945): esamina un caso particolare, ragiona a ritroso partendo dalla tesi, cerca un problema analogo già risolto, introduci un elemento ausiliario, generalizza o specializza. La parola stessa viene dal greco heuriskō, “trovo” (la radice dell’eureka), e già Pappo di Alessandria, nel IV secolo, aveva descritto un’arte del “trovare” le dimostrazioni per analisi e sintesi (Boyer). Lo scopo dichiarato di Pólya era rendere insegnabile ciò che sembrava affidato solo all’intuito (Katz).

Collegamenti

Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Caso particolare · Congettura · Ragionamento all indietro · Strategia risolutiva
Competenze: Ragionare per casi
Persone: Pappo di Alessandria · Polya

Once you have understood the problem, you must decide how to tackle it. It is the most creative phase, and also the most uncomfortable: often you do not know where to start. Here are some techniques that help you to “get unstuck”.

Property — Five techniques to get unstuck

1. Start from the simple case. If the general problem seems too big, try with small numbers, with $n=1, 2, 3$, with a symmetric figure. Often what you see in the simple case extends to the general one.
2. Reason backwards. Start from the thesis: to obtain this, what would be enough for me? Then: to obtain that “what”, what would be enough for me? Until you connect back to the data.
3. Look for a similar problem already solved. Have you already seen something of the kind? A theorem that has the same form? A figure that appears under the same conditions?
4. Introduce something. An unknown, an auxiliary segment, a coordinate system, a name for an angle. Often the path only opens up after you have added a new element.
5. Formulate a conjecture. You do not have to be sure: write “I think it holds that…” and then try to verify it on a case. If it falls, you will have learnt something anyway.

History — Pólya's heuristic

These five techniques are the classroom version of the heuristic that George Pólya gathered in How to Solve It (1945): examine a particular case, reason backwards from the thesis, look for an analogous problem already solved, introduce an auxiliary element, generalise or specialise. The word itself comes from the Greek heuriskō, “I find” (the root of eureka), and already Pappus of Alexandria, in the fourth century, had described an art of “finding” proofs through analysis and synthesis (Boyer). Pólya’s declared aim was to make teachable what seemed to be left to intuition alone (Katz).

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Topics: Working method
Concepts: Particular case · Conjecture · Backward reasoning · Solving strategy
Skills: Reasoning by cases
People: Polya · Pappus of Alexandria

Esempio — Cercare la strada: il rettangolo

Riprendiamo il problema del rettangolo con perimetro $24$ e area $32$.

Ragionando all’indietro: ci servono $x$ e $y$. Abbiamo due equazioni in due incognite, quindi il problema è “ben posto”. Possiamo:

• risolvere per sostituzione (dalla prima: $y=12-x$; sostituiamo nella seconda);
• oppure osservare che $x$ e $y$ sono le soluzioni di un’unica equazione di secondo grado, per le formule di Viète: $t^2 - 12\,t + 32 = 0$ (vedi capitolo successivo).

Abbiamo due strade: entrambe portano alla stessa risposta, ma la seconda è più elegante. È bene imparare a riconoscere quando è disponibile.

Collegamenti

Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Ragionamento all indietro · Strategia risolutiva
Competenze: Risolvere sistemi
Persone: François Viète (Vieta)

Example — Finding the path: the rectangle

Let us take up again the problem of the rectangle with perimeter $24$ and area $32$.

Reasoning backwards: we need $x$ and $y$. We have two equations in two unknowns, so the problem is “well posed”. We can:

• solve by substitution (from the first: $y=12-x$; we substitute into the second);
• or observe that $x$ and $y$ are the solutions of a single quadratic equation, by Viète’s formulae: $t^2 - 12\,t + 32 = 0$ (see the next chapter).

We have two paths: both lead to the same answer, but the second is more elegant. It is good to learn to recognise when it is available.

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Topics: Working method
Concepts: Backward reasoning · Solving strategy
Skills: Solving systems
People: François Viète (Vieta)

Esempio — Cercare la strada: il triangolo isoscele

Per dimostrare che la bisettrice $AM$ è anche altezza e mediana, quale strada scegliamo?

Consideriamo i due triangolini $ABM$ e $ACM$ in cui $AM$ divide il triangolo. Se dimostriamo che sono congruenti, allora automaticamente:

• $BM\cong MC$ (lati corrispondenti) $\implies$ $AM$ è mediana;
• $\widehat{AMB}\cong\widehat{AMC}$ e, essendo supplementari, sono entrambi retti $\implies$ $AM$ è altezza.

Quindi la strada è: dimostrare la congruenza dei due triangoli. Un unico obiettivo al posto di due. Questa è una tipica mossa “ragionando all’indietro”.

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Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Ragionamento all indietro · Strategia risolutiva
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

Example — Finding the path: the isosceles triangle

To prove that the bisector $AM$ is also an altitude and a median, which path do we choose?

Consider the two small triangles $ABM$ and $ACM$ into which $AM$ divides the triangle. If we prove that they are congruent, then automatically:

• $BM\cong MC$ (corresponding sides) $\implies$ $AM$ is a median;
• $\widehat{AMB}\cong\widehat{AMC}$ and, being supplementary, they are both right angles $\implies$ $AM$ is an altitude.

So the path is: prove the congruence of the two triangles. A single objective instead of two. This is a typical “backward reasoning” move.

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Topics: Working method
Concepts: Backward reasoning · Solving strategy
Skills: Proving · Synthetic geometry

Attenzione — Il momento in cui ti blocchi

Ti sembrerà di perdere tempo. Invece è il momento più prezioso: quando sei bloccato, stai imparando a pensare.

Quando succede, scrivi sul foglio — letteralmente — il motivo del blocco:

• “Non so come collegare … con …”
• “Ho due incognite e una sola equazione”
• “La figura non mi suggerisce nessun triangolo utile”

Scriverlo aiuta a mettere a fuoco il vero ostacolo — e molte volte, nel momento stesso in cui lo scrivi, la soluzione arriva.

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Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Risoluzione problemi · Strategia risolutiva

Careful — The moment when you get stuck

It will feel like you are wasting time. Instead it is the most precious moment: when you are stuck, you are learning to think.

When it happens, write on the sheet — literally — the reason for the block:

• “I don’t know how to connect … with …”
• “I have two unknowns and only one equation”
• “The figure does not suggest any useful triangle to me”

Writing it down helps to bring the real obstacle into focus — and many times, at the very moment you write it, the solution arrives.

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Topics: Working method
Concepts: Problem solving · Solving strategy