Prima mossa — capire il problema

Prima di scrivere anche una sola formula, devi capire davvero cosa il problema ti sta chiedendo: quali sono i dati, qual è l’incognita, quale disegno o schema può aiutarti. Questa sezione raccoglie le tre domande del “capire” e le mette all’opera su due problemi guida, uno di algebra e uno di geometria.

• Le tre domande del “capire”
• Esempio — capire un problema di algebra
• Esempio — capire un problema di geometria

Before writing even a single formula, you must really understand what the problem is asking you: what the data are, what the unknown is, which drawing or diagram can help you. This section gathers the three questions of “understanding” and puts them to work on two guiding problems, one in algebra and one in geometry.

• The three questions of “understanding”
• Example — understanding an algebra problem
• Example — understanding a geometry problem

Prima di scrivere anche una sola formula, devi capire davvero cosa il problema ti sta chiedendo. Leggi il testo almeno due volte. Poi poniti, una dopo l’altra, tre domande molto semplici.

In sintesi — Le tre domande del "capire"

1. Quali sono i dati? Quali numeri, condizioni, oggetti geometrici sono già noti?
2. Qual è l’incognita? Cosa devo trovare, calcolare o dimostrare? Dagli un nome ($x$, $h$, $\alpha$, $S$…).
3. C’è un disegno o uno schema che aiuta? Se il problema parla di una figura geometrica, disegnala. Se parla di relazioni, fai una tabella o un grafico.

Buona regola: se non sai ridire il problema con parole tue, non l’hai ancora capito.

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Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Dati e incognite · Risoluzione problemi
Competenze: Modellizzare

Before writing even a single formula, you must really understand what the problem is asking you. Read the text at least twice. Then ask yourself, one after another, three very simple questions.

In short — The three questions of "understanding"

1. What are the data? Which numbers, conditions, geometric objects are already known?
2. What is the unknown? What must I find, calculate or prove? Give it a name ($x$, $h$, $\alpha$, $S$…).
3. Is there a drawing or a diagram that helps? If the problem is about a geometric figure, draw it. If it is about relationships, make a table or a graph.

Good rule: if you cannot restate the problem in your own words, you have not understood it yet.

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Concepts: Data and unknowns · Problem solving
Skills: Modelling

Esempio — Capire un problema di algebra

“Il perimetro di un rettangolo è $24$ cm e la sua area è $32$ cm². Quanto misurano i lati?”

• Dati: perimetro $2p = 24$, area $A = 32$.
• Incognite: le misure dei due lati. Chiamiamoli $x$ (base) e $y$ (altezza).
• Schema utile: un rettangolo con base $x$ e altezza $y$; due equazioni — una per il perimetro, una per l’area. Senza ancora svolgere nulla, abbiamo già trasformato il testo in: $\begin{cases} 2x+2y = 24\\ x\cdot y = 32 \end{cases}$

Notare: non abbiamo ancora risolto nulla. Abbiamo solo riscritto il problema in linguaggio matematico. Questa è la prima mossa.

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Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Dati e incognite · Risoluzione problemi
Competenze: Modellizzare · Risolvere sistemi

Example — Understanding an algebra problem

“The perimeter of a rectangle is $24$ cm and its area is $32$ cm². How long are the sides?”

• Data: perimeter $2p = 24$, area $A = 32$.
• Unknowns: the lengths of the two sides. Let us call them $x$ (base) and $y$ (height).
• Useful diagram: a rectangle with base $x$ and height $y$; two equations — one for the perimeter, one for the area. Without yet doing anything, we have already turned the text into: $\begin{cases} 2x+2y = 24\\ x\cdot y = 32 \end{cases}$

Note: we have not yet solved anything. We have only rewritten the problem in mathematical language. This is the first move.

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Esempio — Capire un problema di geometria

“In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana. Dimostralo.”

• Dati: triangolo $ABC$ con $AB\cong AC$ (isoscele), bisettrice $AM$ dell’angolo $\widehat{A}$, con $M\in BC$.
• Tesi (l‘“incognita”): due cose, non una — $AM\perp BC$ e $BM\cong MC$.
• Disegno: triangolo isoscele con base $BC$ e segmento $AM$ che parte da $A$ e tocca $BC$; sulla figura si segnano subito le informazioni già note (i due lati uguali con una tacca, l’angolo in $A$ diviso a metà dalla bisettrice).

Solo ora che tutto è “sul foglio” ha senso iniziare a ragionare.

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Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

Example — Understanding a geometry problem

“In an isosceles triangle the bisector of the apex angle is also an altitude and a median. Prove it.”

• Data: triangle $ABC$ with $AB\cong AC$ (isosceles), bisector $AM$ of the angle $\widehat{A}$, with $M\in BC$.
• Thesis (the “unknown”): two things, not one — $AM\perp BC$ and $BM\cong MC$.
• Drawing: an isosceles triangle with base $BC$ and segment $AM$ starting from $A$ and touching $BC$; on the figure one immediately marks the information already known (the two equal sides with a tick, the angle at $A$ divided in half by the bisector).

Only now that everything is “on the sheet” does it make sense to start reasoning.

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