Problema — Luogo dei punti medi dei segmenti da un punto a una retta

Testo

Sono dati una retta $s$ e un punto $B$ non appartenente ad $s$. Al variare del punto $X$ su $s$, considera il punto medio $M$ del segmento $BX$. Determina il luogo descritto dai punti $M$ e dimostra la tua affermazione.

(figura originale: retta $s$, punto $B$ e alcuni segmenti $BX$ con i rispettivi punti medi)

Soluzione

Sia $K$ il piede della perpendicolare condotta da $B$ ad $s$ e sia $d = BK$ la distanza di $B$ da $s$. Sia $M_0$ il punto medio di $BK$; esso dista $\tfrac{d}{2}$ da $s$. Affermiamo che il luogo cercato è la retta $s'$ passante per $M_0$ e parallela ad $s$, cioè la parallela ad $s$ a distanza $\tfrac{d}{2}$, “a metà strada” fra $B$ ed $s$.

Ogni punto $M$ del luogo sta su $s'$. Sia $X$ un punto qualsiasi di $s$ e $M$ il punto medio di $BX$. Nel triangolo $BKX$, $M_0$ è il punto medio di $BK$ ed $M$ è il punto medio di $BX$: per il teorema dei punti medi $M_0M \parallel KX$. Ma $KX$ giace su $s$, quindi $M_0M \parallel s$: il punto $M$ appartiene alla retta per $M_0$ parallela ad $s$, cioè a $s'$.

Ogni punto di $s'$ appartiene al luogo. Sia $M$ un punto qualunque di $s'$ e sia $X$ il punto in cui la retta $BM$ incontra $s$ (le due rette non sono parallele, quindi l’intersezione esiste). Nel triangolo $BKX$ la retta $s'$ passa per il punto medio $M_0$ di $BK$ ed è parallela al lato $KX$ (contenuto in $s$); per il teorema inverso dei punti medi essa incontra il terzo lato $BX$ nel suo punto medio. Poiché $s'$ incontra $BX$ proprio in $M$, ne segue che $M$ è il punto medio di $BX$, con $X \in s$: dunque $M$ appartiene al luogo.

Il luogo cercato è quindi la retta parallela ad $s$, a metà strada fra $B$ ed $s$ (a distanza $\tfrac{d}{2}$ da entrambi). $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Luogo geometrico · Piano cartesiano · Punto medio
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Luogo geometrico