Problema — I punti medi dei lati di un rettangolo formano un rombo

Testo

Sia $KLMN$ un rettangolo e siano $P$, $Q$, $R$, $S$ i punti medi dei lati $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ rispettivamente. Dimostra che il quadrilatero $PQRS$ è un rombo.

(figura originale: rettangolo $KLMN$ con i punti medi dei lati e il quadrilatero $PQRS$)

Soluzione

Indichiamo con $2a$ la misura dei lati $KL$ e $MN$ e con $2b$ quella dei lati $LM$ e $NK$ (in un rettangolo i lati opposti sono congruenti). Poiché $P,Q,R,S$ sono punti medi: $KP\cong PL\cong MR\cong RN\cong a,\qquad LQ\cong QM\cong NS\cong SK\cong b.$ Consideriamo i quattro triangoli che si formano ai vertici del rettangolo: $PLQ$, $QMR$, $RNS$, $SKP$. Ciascuno ha l’angolo compreso retto (gli angoli in $L$, $M$, $N$, $K$ sono retti perché angoli del rettangolo) e i due cateti congruenti ad $a$ e $b$:

• $PLQ$: cateti $PL\cong a$, $LQ\cong b$;
• $QMR$: cateti $MR\cong a$, $QM\cong b$;
• $RNS$: cateti $RN\cong a$, $NS\cong b$;
• $SKP$: cateti $KP\cong a$, $SK\cong b$.

Per il primo criterio di congruenza (due lati e l’angolo compreso) i quattro triangoli sono congruenti fra loro. Di conseguenza le loro ipotenuse sono congruenti: $PQ\cong QR\cong RS\cong SP.$ Il quadrilatero $PQRS$ ha i quattro lati congruenti, dunque è un rombo. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Piano cartesiano · Punto medio · Rettangolo · Rombo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione