Problema — Triangolo diviso dai punti medi in quattro triangoli congruenti

Testo

In un triangolo $RST$ indica con $U$, $V$ e $W$ rispettivamente i punti medi dei lati $ST$, $TR$ e $RS$. Dimostra che i tre segmenti $UV$, $VW$ e $WU$ suddividono il triangolo in quattro triangoli fra loro congruenti.

(figura originale: triangolo $RST$ con i punti medi dei lati e la suddivisione nei quattro triangoli)

Soluzione

I tre segmenti dividono il triangolo nei quattro triangoli $RWV$, $WSU$, $VUT$ e nel triangolo centrale $UVW$. Per il teorema dei punti medi, il segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e ne misura la metà. Applicandolo ai tre lati di $RST$:

• $VW \cong \tfrac12 ST$;
• $WU \cong \tfrac12 TR$;
• $UV \cong \tfrac12 RS$.

Inoltre, essendo $U,V,W$ punti medi dei lati, ciascun mezzo lato misura la metà del lato intero: $RW \cong WS \cong \tfrac12 RS,\qquad TV \cong VR \cong \tfrac12 TR,\qquad SU \cong UT \cong \tfrac12 ST.$ Esaminiamo allora i lati dei quattro triangoli:

• $RWV$: lati $RW \cong \tfrac12 RS$, $RV \cong \tfrac12 TR$, $WV \cong \tfrac12 ST$;
• $WSU$: lati $WS \cong \tfrac12 RS$, $SU \cong \tfrac12 ST$, $WU \cong \tfrac12 TR$;
• $VUT$: lati $VT \cong \tfrac12 TR$, $TU \cong \tfrac12 ST$, $UV \cong \tfrac12 RS$;
• $UVW$: lati $UV \cong \tfrac12 RS$, $VW \cong \tfrac12 ST$, $WU \cong \tfrac12 TR$.

Ciascuno dei quattro triangoli ha dunque i tre lati rispettivamente congruenti a $\tfrac12 RS$, $\tfrac12 ST$ e $\tfrac12 TR$. Per il terzo criterio di congruenza (lato-lato-lato) i quattro triangoli sono fra loro congruenti. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Piano cartesiano · Punto medio · Triangolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione