Problema — Triangolo rettangolo con un angolo doppio dell'altro

Testo

Sia $ABC$ un triangolo rettangolo con l’angolo retto nel vertice $C$, in cui uno degli angoli acuti è il doppio dell’altro. Dimostra che l’ipotenusa è lunga il doppio del cateto minore.

Soluzione

Indichiamo con $\widehat{B}$ l’angolo acuto minore e con $\widehat{A}$ quello maggiore, con $\widehat{A} = 2\,\widehat{B}$. Poiché $\widehat{A} + \widehat{B} = 90^\circ$, si ha $2\,\widehat{B} + \widehat{B} = 90^\circ$, da cui $\widehat{B} = 30^\circ, \qquad \widehat{A} = 60^\circ.$ Al minore degli angoli acuti, $\widehat{B} = 30^\circ$, si oppone il cateto minore $AC$; l’ipotenusa è $AB$.

Ribaltiamo il triangolo attorno alla retta $BC$ (il cateto maggiore). Il vertice $A$ ha per immagine il punto $A'$; poiché $AC \perp BC$ e $C$ appartiene a $BC$, il punto $C$ è il punto medio del segmento $AA'$, dunque $AA' = 2\,AC.$ Nel triangolo $ABA'$ la riflessione conserva le lunghezze e le ampiezze, quindi $BA' \cong BA$ e $\widehat{A'BC} \cong \widehat{ABC} = 30^\circ$. Ne segue $\widehat{A'BA} = \widehat{A'BC} + \widehat{ABC} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ.$ Il triangolo $ABA'$ è isoscele (perché $BA \cong BA'$) e ha l’angolo al vertice $\widehat{A'BA} = 60^\circ$; dunque i due angoli alla base valgono ciascuno $\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$. Avendo tutti gli angoli di $60^\circ$, il triangolo $ABA'$ è equilatero, quindi $AA' \cong AB.$ Combinando le due relazioni, $AB = AA' = 2\,AC$: l’ipotenusa è il doppio del cateto minore. $\boxed{AB = 2\,AC}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Ipotenusa · Triangolo isoscele · Triangolo rettangolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione