Problema — Mediana relativa all'ipotenusa

Testo

Sia $DEF$ un triangolo rettangolo con l’angolo retto nel vertice $F$, cosicché $DE$ è l’ipotenusa. Detto $N$ il punto medio dell’ipotenusa $DE$, dimostra che la mediana $FN$ è congruente alla metà dell’ipotenusa, cioè $FN \cong \dfrac{1}{2}\,DE$.

Soluzione

Sul prolungamento della mediana $FN$ prendiamo il punto $G$ tale che $N$ sia punto medio anche di $FG$; in questo modo $FN \cong NG$.

Il quadrilatero $DFEG$ ha le due diagonali $DE$ e $FG$ che si intersecano in $N$, loro comune punto medio ($DN \cong NE$ perché $N$ è punto medio di $DE$, e $FN \cong NG$ per costruzione). Un quadrilatero le cui diagonali si tagliano scambievolmente a metà è un parallelogramma, quindi $DFEG$ è un parallelogramma.

Poiché l’angolo $\widehat{DFE} = 90^\circ$, il parallelogramma $DFEG$ ha un angolo retto: è dunque un rettangolo. In un rettangolo le diagonali sono congruenti, perciò $FG \cong DE.$ Ma $FN = \dfrac{1}{2}\,FG$ per costruzione, quindi $FN = \frac{1}{2}\,FG = \frac{1}{2}\,DE.$ La mediana relativa all’ipotenusa è dunque uguale a metà dell’ipotenusa. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Ipotenusa · Mediana · Triangolo rettangolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione